Repaso sobre teorema fundamental del cálculo

El teorema tiene dos versiones.

Comenzamos con una función continua $f$‍ y definimos una nueva función para el área bajo la curva $y=f(t)$‍:

Lo que esta versión del teorema dice es que la derivada de $F$‍ es $f$‍. En otras palabras, $F$‍ es una antiderivada de $f$‍. Por lo tanto, el teorema relaciona el cálculo diferencial e con el cálculo integral y nos dice cómo podemos encontrar el área bajo la curva usando antiderivación.

Esta versión nos da instrucciones más directas para encontrar el área bajo la curva $y=f(x)$‍ entre $x=a$‍ y $x=b$‍. Simplemente encuentra una antiderivada $F$‍ y calcula $F(b)-F(a)$‍.

Podemos usar el teorema en situaciones más complicadas. Encontremos, por ejemplo, la expresión para ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍. Observa que el intervalo está entre $0$‍ y $x^3$‍, no $x$‍.

Para ayudarnos, definimos ${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\sin (t)dt}$‍. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, $F^{\prime }(x)=\sin (x)$‍.

De nuestra definición, tenemos que ${\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ es $F(x^3)$‍. Esto significa que ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ es ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x^3)$‍. Ahora podemos usar la regla de la cadena: