¿que pasa si los signos son iguales?

Si los signos son iguales se suman por ejemplo: (+)(+)=+ (-)(-)=+

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Curso: Álgebra 1 > Unidad 13

Lección 7: Factorizar expresiones cuadráticas con diferencia de cuadrados

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Aprende a factorizar cuadráticas que tienen la forma "diferencia de cuadrados". Por ejemplo, escribe x²-16 como (x+4)(x-4).

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.

En este artículo, aprenderemos a usar la diferencia de cuadrados para factorizar ciertos polinomios. Si no conoces la diferencia de cuadrados, por favor revisa nuestro video antes de seguir.

Introducción: patrón de diferencia de cuadrados

Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Observa que, en el patrón,

a

b

pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para

a = x

b = 2

, obtenemos lo siguiente:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

El polinomio

x^{2} - 4

ahora se expresa en forma factorizada,

(x + 2) (x - 2)

. Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Ahora que entendimos el patrón, usémoslo para factorizar más polinomios.

Ejemplo 1: factorizar $x^{2} - 16$ ‍

Tanto

x^{2}

como

16

son cuadrados perfectos, ya que

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. En otras palabras:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Como los dos cuadrados se están restando, podemos ver que este polinomio representa una diferencia de cuadrados. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

En nuestro caso,

a = x

b = 4

. Por lo tanto, nuestro polinomio se factoriza así:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Podemos revisar nuestro trabajo al asegurar que el producto de estos dos factores es

x^{2} - 16

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza $x^{2} - 25$ ‍.

2) Factoriza $x^{2} - 100$ ‍.

Pregunta para reflexionar

3) ¿Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar $x^{2} + 25$ ‍?

Ejemplo 2: factorizar $4 x^{2} - 9$ ‍

El coeficiente principal no tiene que ser igual a

1

para usar el patrón de la diferencia de cuadrados. ¡De hecho, el patrón de la diferencia de cuadrados se puede usar en este caso!

La razón es que

4 x^{2}

9

son cuadrados perfectos, pues

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Podemos usar esta información para factorizar el polinomio usando el patrón de la diferencia de cuadrados:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Una comprobación con una multiplicación rápida verifica nuestra respuesta.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza $25 x^{2} - 4$ ‍.

5) Factoriza $64 x^{2} - 81$ ‍.

6) Factoriza $36 x^{2} - 1$ ‍.

Problemas de desafío

7*) Factoriza $x^{4} - 9$ ‍.

Tanto

x^{4}

como

9

son cuadrados perfectos, pues

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

. Como los términos se están restando, podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar el polinomio.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

Observa que podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar polinomios que no son cuadráticos. Siempre y cuando el polinomio se pueda expresar como una diferencia de dos cuadrados, ¡podemos usar el patrón!

8*) Factoriza $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.