Introducción a las hipérbolas

hola bueno pues hoy veamos si podemos aprender un par de cosas acerca de la hipérbola y bueno fuera de toda esta sección de cónicas que hemos visto anteriormente esta es la que quizás confunde un poco más a la gente porque no es tan fácil de dibujarla como la circunferencia y las elipses pues tienes que realizar un poco más de álgebra pero con optimismo creo que en el transcurso del vídeo lograremos estar conformes con esto y bueno verás las hipérboles de una manera más divertida que espero y hasta te gusten más que otras cónicas así que primero empecemos con un pequeño repaso visualicemos un tanto las ecuaciones estandarizadas de cónicas anteriores que hemos visualizado entonces aquí tenemos la ecuación estandarizada de una de un círculo y que es x cuadrada más de cuadrada igual r cuadrada y veamos que esto es lo mismo que si dividimos por ambas partes de la ecuación sobre r cuadrada lo cual nos va a servir para visualizar de otra forma dicha ecuación y llegar a lo a lo siguiente si x cuadrada sobre re cuadrada más cuadradas sobre la re cuadrada igual a 1 y esto es un círculo pero bien no perdamos de vista que estos son un repaso para entender lo próximo y bueno en cuanto al círculo sabemos que todos sus puntos son equidistantes lo que nos quiere decir que tiene un eje mayor y un eje menor con la misma distancia lo cual no hace ninguna distinción entre estos dos pues tiene siempre la misma distancia del punto al centro y esto fue en cuanto al círculo ahora vamos en cuanto a la elipse pues fue mucho más bonita cuando la estuvimos estudiando pues para los dos o las dos constantes que nos aparecen en el numerador éstas podrían ser diferentes pues la distancia al centro podía cambiar por lo que nos queda x cuadrada sobre a cuadrada malla cuadrada sobre el cuadrado igual a 1 y esta es la elipse ahora me gustaría omitir la la parábola por un momento pues la parábola es como un caso muy interesante que me gustaría retomar en próximos vídeos muy profundamente pero la hipérbola es muy cercana a esta fórmula y existen dos formas en cómo la hipérbola puede ser representada vamos a ver la primera que sería esta notemos que la única diferencia entre esta otra ecuación y esta de aquí es que en lugar de un más hay un menos afectándola y encuadrada por aquí así que esto podría ser la primera representación de la hipérbola y la otra forma en cómo podríamos ver es que el signo está afectando pero a la equis cuadrada por lo tanto nos quedaría cuadrada sobre b cuadrada menos equis cuadrada sobre a cuadrada igual a 1 entonces a la primera afecta a las de cuadradas y esta segunda afecta a nuestra parte de las equis y bueno ahora quiero que veamos cómo podríamos graficar o visualizar las gráficas de este par de parábolas y claro que podríamos hacer los dos casos pues aparecen en un buen de libros de texto o incluso si buscas en internet en la web los podrías encontrar pero a veces simplemente dan las fórmulas pero la verdad es que a mí no me gusta solamente dar fórmulas porque siempre olvido y tú terminas olvidaría de inmediato después de un examen express aunque quizás las quieras memorizar simplemente para estar listo en dicho examen mente servía de nada pues las olvidarías y la hace el segundo caso por lo que no me gusta aprenderme las de memoria es que probablemente te podrías confundir algunas veces si te dado unas constantes diferentes abajo porque podrían llamarlas al cuadrada y be cuadrada o con cualquier otro término pues simplemente es notación ya que aparte de todo éstas nos sirven para ver cuáles son las as in total de nuestras hipérbola sí probablemente si te confundes con dicha anotación podrías estar las calculando mal y bueno calculando en mensajes into estás para nuestra primera ecuación cuando el menos afecta alayes restamos de ambas partes x cuadradas sobre a cuadrada y nos queda este término y después como nos interesa a despejar b pues vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por menos b cuadrada y este término nos lo cambia al menos de cuadrada a simplemente tener ye cuadrada esto es igual a menos de cuadrada este menos con el menos debe cuadrada se vuelve uno más b cuadrada sobre a cuadrada por todo esto por equis cuadrada y prometo que ya casi llegamos luego de esto ya es igual a por las propiedades de la raíz cuadrada tenemos que es más menos la raíz cuadrada de cambiamos esto de aquí de orden simplemente para tener por estética matemática el término positivo primero entonces es de cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada menos b cuadrada y ahora diríase y dijiste que esto ya sería más simple y los estamos resolviendo de una forma muy complicada pero recuerda estamos simplemente haciendo esto para figurar nos o visualizar perfectamente bien las síntomas de nuestra hipérbola solamente para darle sentido a todo lo que estamos diciendo pero déjame hacerlo por aquí vamos a hacerlo gráficamente entonces dicha hipérbola tiene dos síntomas a las cuales se va a estar aproximando así que serían estas dos que estamos por aquí dibujando entonces como ya había mencionado son las asín total a lo que la gráfica en este pero la se va a ir aproximando pero nunca nunca las va a tocar y si eres observador es una la negativa de la otra o sea con una pendiente contraria a la que teníamos primero y claro que no estoy dibujando todo esto perfecto pero tampoco toca la 5ta simplemente es cada vez más cerca arbitrariamente cercanísima a la 5ta también luce algo como esto donde si vemos que nuestra hipérbola abre hacia la izquierda y a la derecha obviamente es posible que también abra hacia arriba y hacia abajo pero cuando estamos hablando de nuestro otro tipo de ecuación y conforme más y más se acerque a la 5ta significa que cada vez estará más cerca a estas líneas pero sin tocarlas conseguirá estar infinitamente cerca como también infinitamente lejos conforme x tome valores muy grandes entonces conforme x tienda a más menos infinito en esta parte que estoy aquí encerrando qué pasaría si x toma valores muy grandes y los sustituye y es un valor extremadamente grande este término constante por acá prácticamente le hace nada a nuestro súper número que tenemos del lado izquierdo así que podríamos decir que ye se va a aproximar conforme x tome valores muy pero muy grandes sea enorme creo que este es el símbolo el símbolo de congruente más bien quiero buscar por acá como sería el de aproximación que sería éste pero bueno regresando a esto si x es demasiado grande entonces esta función se aproxima a ser solamente más o menos la raíz de b cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada y esto es igual a sacando la raíz cuadrada algebraica mente del término al que nos aproximamos que seguro puedes y es sencillísimo nos va a quedar más menos b sobre a por equis y lo que esto nos está diciendo es que esencialmente existen 2 assassins totales donde la pendiente de una cinta será ve por ahí multiplicada por equis y esto es en cuanto a la positiva y en cuanto a la negativa sería menos b por a por equis y voy a realizar esto con un ejemplo para hacerlo más claro pero antes las a sin todas son como vemos aquí estas dos líneas que tenemos ya dadas entonces aquí sería igual a más b sobre a por equis y por acá tendríamos la de la pendiente negativa nuestra sin total y igual a menos b sobre a por equis pero bueno algo esencial y sumamente importante también es visualizar para dónde va a abrir la y pero la se abrirá para arriba y para abajo o para la izquierda y la derecha y con esto las dos formas de poder visualizarlo es decir bueno esta aproximación que tenemos aquí para cuando x es demasiado grande también podemos ver incluso que no nuestro término de aquí de todos modos no nos serviría de mucho porque nos quedara una raíz negativa y nosotros no estamos trabajando con números imaginarios y no nos está diciendo nada nuestra gráfica pero como en este caso estamos restando de un poquito en cuanto a la constante siempre vamos a estar un poco por debajo del asunto especialmente cuando estamos en el cuadrante positivo cierto y para mí es como más fácil visualizarlo siempre para este cuadrante porque los otros me confunden un poco entonces nos estaríamos aproximando desde la parte inferior por aquí y como sabes esto se va a ir aproximando de esta forma a las in total y luego conforme se va abriendo por la derecha aquí es simétricamente para la izquierda lo mismo para la izquierda y otra forma de realizarlo y quizás sea un poco más intuitiva para ti es visualizar en la ecuación original que puede ser con cuando hoy es igual a 0 y regresando a la ecuación para visualizar que abre a la izquierda ya la derecha veamos que si x vale 0 igual nos vuelve a quedar un término negativo dentro de la raíz y lo mismo no estamos trabajando con imaginarios no nos da ningún tipo de información entonces x nunca va a ser igual a 0 entonces por puro y analizando nuestra ecuación por aquí obviamente x nunca va a ser cero así que ahora la pregunta sería que puede ser igual a cero y hay que establecerlo digamos que es igual a cero y luego vamos a resolverlo así que en este caso tendríamos cero igual a la raíz de b sobre b cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada menos b cuadrada luego podríamos sacar elevar al cuadrado por ambos lados entonces nos queda este término por acá es igual a cero está siendo un poco confuso porque me hace falta espacio entonces b cuadrada sobre a cuadrada por x cuadrada es igual a b cuadrada y luego podríamos multiplicar ambas partes por b cuadrada nos quedan unos y entonces tendríamos que x cuadrado es igual a cuadrada e igual sacando raíz de ambos lados tendríamos que x es igual a más menos a por lo que el punto de por acá es a cero y de este lado menos pero ahora regresemos al problema inicial tengo la sensación de que está terminando ese el tiempo pero bueno no tenemos que el término x cuando el término x es positivo nuestra hipérbola abre hacia la derecha y la izquierda y de hecho probablemente obtengas razonamiento intuitivo y veas que cuando el término y es el positivo como aquí probablemente la hipérbola vaya a abrir hacia arriba y hacia abajo y probemos esto a nosotros mismos así que para que cuadradas sobre b cuadrada y agregándole ambas partes x cuadrada sobre a cuadrada tendríamos que ye cuadrada sobre b cuadrada es igual a x cuadrada sobre a cuadrada más 1 luego entonces multiplicamos por b cuadrada ambas partes y tenemos esta tercera expresión finalmente sacando la raíz cuadrada de ambos lados tenemos que es igual a más menos la raíz cuadrada de b cuadrada a cuadrada por equis cuadrada más be cuadrada y bueno ya no me queda espacio pero podemos hacer el mismo argumento conforme a cuando x aproxima a más infinito o menos infinito como lo hicimos anteriormente pues no nos afectaría cuando x es muy grande el término constante del ave entonces esencialmente nos queda como lo anterior más menos b sobre a por equis y una vez más estas dos son las mismas así en total las cuales redibujar yo remarcar por aquí esta línea y esta otra línea en este caso estamos un poco más lejanos o más distantes de las asín totales pues estamos sumándole un pequeño número positivo que es la constante del ave cuadrada entonces dichas hipérbola la dicha hipérbola o dichas parábolas nos va a quedar un poquito distante de nuestras asín totas y otra forma de pensar esto regresando a nuestra ecuación para cuando la app hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo vayamos acá arriba para analizarlo si te das cuenta si x vale 0 se anula todo este término y pues nos va a quedar simplemente un punto entonces en realidad no nos interesa para cuando es igual a cero nos interesa para cuando ya es igual a cero entonces sería menos x cuadrada sobre a cuadrada igual a 1 luego multiplicando ambas partes por menos 1 tenemos que x cuadrado de 6 igual a menos a cuadrada y como podrás darte cuenta tenemos una raíz de algo negativo lo cual no nos está diciendo nada para nuestra gráfica de cualquier forma no te confundas aún es abstracto esto de las veces días y en los próximos dos vídeos haré bastantes problemas numéricos así que esto va a quedar muchísimo más claro nos vemos