La transformada de Laplace 1

en esta ocasión les voy a hablar sobre el concepto de la transformada de la plaza que encontrarán es un concepto de los más útiles que van a aprender no sólo para ecuaciones diferenciales sino en general para las matemáticas sobre todo si ustedes se van a dedicar a la ingeniería van a encontrar que la transformada de la plaza es muy útil además de ser usada para las ecuaciones diferenciales ustedes la pueden aplicar para mover o transformar funciones del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia además de que nos sirve para comprender y estudiar todo un conjunto de fenómenos pero eso no lo vamos a ver ahorita eso lo veremos más adelante primero vamos a comprender de qué se trata familiarizarnos con su terminología y después vamos a ver cómo la podemos usar para resolver ecuaciones diferenciales y vamos a comenzar con ejercicios sencillos y vamos a seguir haciéndolos un poquito más difíciles conforme avancemos para que podamos resolver cosas más complicadas bueno y qué es la transformada de la plaza vamos a ver su notación primero está transformada se va a escribir con una ele manuscrita un poquito gary goleada y vamos a abrir una llave y aquí dentro vamos a escribir la función a la que queremos aplicar en la transformada normalmente estamos acostumbrados a ver las funciones como fx pero aquí lo vamos a escribir como una ft ya que es muy común que usemos la transformada de la plaza para transformar funciones que se encuentren en el dominio del tiempo y pasarlas al dominio de la frecuencia aunque no se preocupen por ello ahorita no quiero que se confundan vamos a cerrar nuestra llave aquí para terminar de escribir esta anotación va a transformar esta función en otra función de hecho déjenme escribir aquí una notación matemática en que es en lo que se transforma bueno la forma en la que yo lo veo es que por ejemplo tenemos una función que transforma un conjunto de datos a otro conjunto de números sin embargo la transformada de la plaza va a transformar un conjunto de funciones hacia otro conjunto de funciones por ejemplo para nuestros propósitos vamos a definir leal transformada de la plaza de ft y ésta va a ser la integral impropia aunque va de bueno no se preocupen y te lo voy a explicar en un momento la integral impropia de 0 a infinito d elevado a la menos 7 x ft que es lo que se encuentra adentro de las llaves de aquí de la transformada dt y esto puede ser quizás un poco confuso para ustedes por estas terminologías pero bueno vamos a desarrollar esto vamos a ver cuál es la transformada de la plaza de 1 la transformada de la plaza de uno va a ser igual ft es igual a 1 vamos a sustituirlo aquí y esto nos lleva a ver déjame reescribir esto para que queda un poquito más claro la integral impropia de 0 a infinito es igual a la menos ese porte eso no cambia multiplicada por la función en la función es 1 así que no lo voy a escribir pero se entiende dt y quizás este infinito les estaba metiendo un poco de ruido y de hecho bueno vamos a aclararlo aquí esto es exactamente lo mismo que si yo escribo el límite digamos de mi letra a que tiende al infinito de la integral de 0 a a d elevado a la menos st dt y esto lo escribo así para que se sientan un poquito más cómodos de estar trabajando con un límite de algo que tiene el infinito en lugar de tener algo para evaluar en infinito y ahora sí vamos a hacer la anti derivada de al menos 7 para resolver esta integral impropia de ala menos st dt esto va a ser igual a menos 1 sobre s x el ala menos st si no me creen hagan la derivada de este término y les va a quedar así de hecho permítanme quitar este signo de igual aquí lo voy a recorrer un poco a la izquierda y bueno voy a escribir aquí el igual el límite cuando tiene infinito de hecho lo escribo así porque es la primera vez que estamos hablando de integrales impropias para recordarles que estamos hablando de límites así que vamos a tomar la anti derivada y la vamos a evaluar en a y vamos a restar esta anti derivada evaluada en cero así que todo esto es igual al límite cuando a tiende a infinito bueno vamos a sustituir a primero aquí si lo hacemos tenemos menos 1 entre s ya que es la integral con respecto a t aquí escribimos el ala menos s por a ya que eso es lo que estoy haciendo esto sustituyendo a gente - que pasa cuando pongo sustituyó a t con el valor de 0 a pues bueno va a ser voy a multiplicar ese porte me va a quedar elevado a 0 y cualquier cosa elevada a la 0 va a ser igual a 1 así que me queda menos menos uno en 13 y vamos a bajar un poquito para continuar escribiendo aquí esto va a ser igual al límite ya lo puse en otro color de a cuando tiende a infinito d vamos a escribir aquí menos 1 / s al menos ese por a menos -1 en 13 así que queda más uno entre s y aquí cerramos el coche te cuál es el límite de cuando a tiende a infinito este término conforme a se hace más grande se aproxima infinito y asumimos que ese es mayor que 0 de hecho vamos a escribirlo aquí ese es mayor que 0 entonces este término va a ser menos algo muy grande la eba estará elevada a la menos algo que tiende al infinito así que elevado a la menos algo muy muy grande va a ser un número muy muy muy chiquito va a tender a cero cuando a tiende a infinito todo este término va a tender a cero y por lo tanto todo este elemento va a ser igual a cero por lo que nos va a quedar solamente uno entre ese y este es el resultado así que tómense un momento para celebrar que han resuelto su primera transformada de la plaza y eventualmente veremos en futuros vídeos que existe toda una serie de tablas de transformadas de laplace ya resueltas pero por el momento vamos a trabajar con las más básicas este puede ser nuestro primer registro en nuestra tabla de transformadas de la plaza entonces la transformada de la plaza de 1 va a ser igual a 1 / s recuerden que aunque este es el 1 estamos evaluando una función con respecto al tiempo y ahora la hemos transformado a una función con respecto a ese y bueno veo que me queda muy poquito tiempo así que continuaremos con la transformada de la plaza en el siguiente vídeo