L{sin(at)} transformada de sen(at)

vamos a continuar con nuestra tabla de transformadas de la plaza y en esta ocasión va a ser una transformada bastante densa así que tengo que concentrarme para no equivocarme digamos que quiero hacer la transformada de la plaza de esta que es bastante útil bueno de hecho todas son útiles les avisaré cuando alguna no sea útil queremos encontrar la transformada de la plaza de el seno de a porter y recordemos la definición de la transformada de la plaza que es la integral impropia de 0 a infinito y bueno recordemos que la transformada de la plaza es una herramienta que es bastante útil y de esto hablaremos más adelante entonces es la integral impropia de 0 a infinito de ala menos st x lo que sea que tenemos dentro de los corchetes en este caso seno de aporte de t y ahora tenemos que regresar y encontrar nuestra neurona para hacer las integrales por partes en mi cerebro esta neurona siempre desaparece por lo que voy a desglosar la integración por partes que es algo que no les recomiendo que hagan siempre es mejor que si van a tener un examen recuerden que la integración por partes viene de la derivada de un producto así que esto lo voy a hacer en este lado la regla de producto nos dice que si tengo a un por de ambas son funciones y quiero sacar la derivada con respecto de ambas ambas funciones están con respecto a t va a ser igual a la derivada de la primera función por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función y ahora voy a integrar ambas partes tenemos que por b va a ser igual a la integral de la derivada de un x b más la integral de 1 por la derivada de b o b prima esto me ayuda a recordarlo y ahora vamos a restar esta integral de esta otra parte vamos a cambiar de color esta integral la integral de prima de su prima b va a ser igual a o por b menos la integral de un x de prima por de prima claro que todas esas funciones son dt pero yo tenía que escribir esto en una orilla de mi cuaderno para poder acordarme de todas las integrales y derivadas que siempre se me estaban olvidando una forma de memorizar esto es decir bueno tengo la integral de la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función y eso es igual a ambas funciones multiplicadas menos la integral reversa o decir la integral de la que la primera función que era derivada bueno ahora va a estar normal va a ser multiplicada por la segunda función que va a estar derivada pero bueno bueno vamos a enfocarnos a nuestro problema actual que es esta transformada y aquí podemos decir que cualquiera de estas sea la función y la función b entonces vamos a decir que su prima va a ser va a ser igual a la menos st y por lo tanto la función va a ser la anti derivada que es menos 1 entre s x a la menos siete y bueno recordemos que este problema va a ser un problema de integración por partes doble voy a definir de una vez que está transformada de laplace va a ser igual creo que hice un problema muy parecido a éste cuando se vio el tema de integración por partes pero bueno vamos a enfocarnos en esta integración por partes así que si está eso vamos ahora escribir de en otro de color si esto es su prima esta va a ser vez así que va a ser igual a el seno de ate y cuál es de prima a bueno va a ser algo seno de aporte y ahora estamos listos para hacer nuestra integral así que la transformada de la plaza a la que llamamos ye y es lo que queremos encontrar bueno y va a ser igual va a ser igual a prima por ver o la integral de un prima por ver que es igual a o por b por lo que escribimos que es igual a menos 1 entre s por y para menos st multiplicado por el seno de a t - la integral y bueno debemos recordar que cuando hacemos integrales por partes pues podemos tener aquí integrales indefinidas o impropias o cualquier otra pero los límites se mantienen así que va a ser la integral de 0 infinito de x de prima y aquí tenemos que y es igual a menos 1 entre s por ea la menos st y de prima va a ser por goce no a d muy bien y aquí agregamos el dt y ahora aquí tenemos otra integral densa pues tenemos otra integral por partes y bueno vamos a ver qué tanto podemos simplificar esto vamos a reescribir las cosas voy a escribir aquí ye igual a menos o al menos ese porte entre s por el seno de a porte menos menos pues va a ser más va a ser más / s esto es una constante así que por eso la sacamos de la integral y ahora si va a ser la integral de 0 a infinito de - st por el coseno de a de dt y bueno ya tenemos simplificada nuestra integral por partes que la voy a hacer en otro color para que quede un poquito más claro así y una vez más vamos a definir nuestras o prima su prima va a ser igual a él a la menos ese porte así que este es su prima y uno va a ser igual a menos uno entre s por el ala menos act y ahora me va a ser igual a igual a coseno de aporte y ahora de prima va a ser igual a igual va a ser igual a menos a por el seno de aporte es la misma regla que hicimos en la integral por partes anterior así que ahora vamos a sustituir esto nuevamente en nuestra regla hay que poner atención porque eso está bastante denso vamos a tener que ya va a ser igual a menos al menos ese porte entre s por el seno de a porte más sobre s x a ver integración por partes y ve que es menos 1 entre s por el ala menos 70 por de que es co seno de la corte menos - la integral de 0 al infinito y baja ya que este problema se me está cansando pero no importa vamos a concentrarnos para terminarlo de la integral de 0 infinito y ahora tenemos un port de prima que es menos 1 entre s por al menos 7 qué es eso y ahora mi prima es vamos a escribir vamos a quitar este a cancelar este menos con el otro que tenemos por a por seno de a t dt y ya como que se empieza a ver la luz al final del túnel bueno vamos a tratar de simplificar todo esto un poco más y por supuesto vamos en algún momento que tener que evaluar esto para cuando te es igual a infinito y para cuando te bueno no este no puede ser igual infinito para cuando te se aproxima a infinito y para cuando te es igual a cero pero bueno ahorita vamos a concentrarnos en la simplificación así que ya va a ser igual a menos e elevado a la menos 7 entre s por seno de aporte / s por menos 1 / s menos a / s al cuadrado por al menos 7 por el coseno de a t muy bien ahora vamos a revisar que no se nos haya ido algún error ahora vamos a multiplicar esto por esto y vamos a sacar todas las constantes que es a 1 entre s así que aquí nos va a quedar menos menos - a cuadrada / s cuadrada por la integral por la integral de tops me acabo de acordar que en este momento voy a trabajar con la integral indefinida no voy a ver los límites ahorita con la integral de e a la menos st por el seno de aporte de t y bueno esto ya lo hemos hecho antes y el truco está en la integral por partes pero esta expresión que están viendo aquí noten que es exactamente la misma expresión con la que comenzamos sólo que aquí para mantener las cosas más simples manejamos la integral indefinida no estuvimos llevando los límites todo el tiempo porque hubiera estado todavía más denso así que aquí vamos a tener oops me acabo de dar cuenta que me estoy quedando sin tiempo así que vamos a continuar con este problema tan denso en el siguiente vídeo