La transformada de Laplace de la función con escalón unitario

aquí el punto para aprender ecuaciones diferenciales es poder usarlas para eventualmente modelar algo de la vida real todo lo que hemos hecho hasta el momento es crear un conjunto de herramientas que nos permitan resolverlas pero eso se debe a que las ecuaciones diferenciales pueden escribir diferentes sistemas a los que eventualmente podremos modelar y sabemos que en la vida real no todos son funciones continuadas bonitas por eso en los próximos vídeos vamos a hablar sobre funciones que son un poco más discontinuas de lo que estamos acostumbrados a ver en nuestras clases tradicionales de cálculo y la primera que veremos es la función escalón unitario se escribe como un subíndice c y se define como bueno se define como 0 cuando t es menor que el subíndice que yo haya escrito aquí en este caso sé cuándo t es menor que ese y se define como uno cuando t es mayor o igual que sé y si ustedes quisieran graficar a esto lo pueden hacer realmente no es nada difícil voy a dibujar mi récord de nado mi eje x aquí en un bonito color verde voy a poner mi eje de aquí cuando hablemos de las tan sonadas de la plaza que es a lo que nos vamos a referir aquí solo nos van a interesar los valores de la función cuando t es mayor a 0 de todas maneras nuestra definición de la transformada de la plaza es la integral que va de 0 a infinito por lo que siempre vamos a estar trabajando con la parte positiva de esta función de cualquier manera vamos a tener el valor de 0 hasta que lleguemos a algún valor a nuestro valor c en este caso entonces vamos a tener un cero hasta que llegamos a c y es que tenemos un salto como si tuviera un escalón de ahí viene el nombre volvemos a ponerlo aquí en este punto y ese es nuestro valor 1 en este caso de la función y a partir de aquí todo el valor siguiente va a ser igual a 11 pero bueno ustedes me pueden decir oye me acabas de decir que vamos a usar ecuaciones diferenciales para modelar cosas y qué me sirve ver esto bueno en el mundo real existen situaciones en la que tenemos un valor y de repente ese valor salta o brinca aunque no hay nada que tenga un cambio tan brusco como esto pero si tenemos situaciones en donde podemos ver que hay un valor que no pasa nada se mantiene ese valor y de repente llega a un punto en el que él y esta función es una muy buena aproximación analítica para modelar este tipo de comportamiento siempre que estamos viendo estas ecuaciones diferenciales de manera analítica vamos a tratar de encontrar un modelo puro de algo aunque eventualmente veremos que ningún modelo define o describe perfectamente una situación del mundo real pero nos ayuda a describirlo suficientemente bien como para que podamos analizarlo pero bueno vamos a borrar esto de aquí para continuar con nuestro análisis bueno la primera pregunta al respecto es qué tal si algo no se comporta exactamente como esto qué tal si yo quisiera hacer si yo quisiera hacer unas funciones escalón un poquito más sofisticadas qué tal si yo quisiera construir algo que se viera como esto digamos que esto esta es mi eje y éste es mi eje x y digamos que quiero construir algo que luce más o menos en otro color lo voy a poner este es un 2 hasta que llegó hasta que llegó el valor de pi valor de pi 3.14 16 y cuando lee este valor va a continuar siendo 0 cómo puedo yo construir esta función usando lo que sé de mi función escalón unitario muy bien pensemos un poco al respecto y qué pasaría si yo reescribir a esto de manera que escribo 2 - la función escalona unitario que es un es mi función escalón unitario que va a comenzar desde el valor de pi y es una función de t si yo definiera esto como mi función ft bueno como está definida esta función escalón sería igual a 1 cuando llegue al valor de pin pero queremos que tenga el valor de 2 así que aquí le vamos a multiplicar por un 2 y ya con esto debe de funcionar mientras tengamos un valor que sea menor y mientras sea un valor menor a pie esto va a tender a cero así que la función se va a evaluar en dos pero en cuanto lleguemos a que te sea igual y recordemos que es nuestra c en este ejemplo y en cuanto llegue a este valor nuestra función escalón se va a volver 1 por lo que va a ser 2 menos 2 igual a 0 y nuestra función a partir de este punto va a ser igual a 0 y bueno todo esto está muy bien pero qué pasaría si ustedes necesitaran regresar un paso que el lugar en lugar de tener la función como esto vamos a estar quitando esto voy a borrar esto de aquí quiero que vuelva a brincar mi función quiero que vuelva a tomar el valor de 2 después o cuando llegue a otro valor más al reiba de pi digamos doble de pi como construiremos esa función y no queremos que salte a cualquier lugar queremos que regrese al valor de 2 bueno pues podemos agregar otra función a escala ahora esta va a ser cero durante todo el tiempo pero va a saltar a dos en el momento en el que llegue a dos pie así que en este caso con nuestra nueva función escalón nuestra se va a ser igual a dos pi y recordemos que la función escalón solita saltaría 1 y lo que queremos es que salte a 2 así que la vamos a multiplicar por 2 y de esta manera ustedes pueden crear sus propias funciones arbitrarias en las que pueden ir brincando de arriba a abajo como ustedes lo prefieran simplemente usando diferentes combinaciones lineales de esta función escalón pero ahora vamos a hacer algo todavía un poco más sofisticado digamos que tengo una función que luce así más o menos así aquí está de nuevo mi eje mi eje de mi eje x y digamos que mi función efe dt este es x bueno no no de hecho aquí debe ser una t porque mis funciones están con respecto a t así que ésta va a ser efe dt y aquí voy a dibujar algo completamente arbitrarias digamos que es pongo esta curva así y qué tal si yo modelar a esto de la siguiente manera esta es mi ft y si yo modelar a este sistema de la siguiente manera digamos que se va a mantener en cero hasta cierto valor se va a mantener en cero hasta que llegue al valor que es nuestra sed y aquí se empieza a elevar nuestra función cuando llegase y comienza a hacer algo así bueno de hecho lo que tenemos aquí es una combinación en donde se tiene cero y después se tiene un desplazamiento a ft llegándose se desplaza hacia este lado como podríamos modelar esta función amarilla pues es la misma función que la función verde de ft pero tiene un valor de 0 y en el momento en el que llegue hace es que se da esta función esta función verde puede estar así o puede haber continuado más o menos así pero nosotros lo único que hicimos es desplazar la de aquí para acá y dejar en cero todo lo que estaba antes de ser bueno como es que hacemos esto bueno ustedes aprendieron en sus clases de álgebra o de pre cálculo que para desplazar una función porsche hacia la derecha sólo tenemos que reemplazar nuestra fe con una p - por lo que nuestra función amarilla quedaría efe dt - y para asegurarnos de que esto está bien lo que voy a hacer es imaginarme qué pasaría si t fuera igual a c cuando te es igual hace que menos se va a ser igual a cero así que voy a tener efe de cero cuando te es igual hace el valor de la función va a ser equivalente a nuestra función ft que está en color verde lo que tiene sentido así que si tenemos uno más arriba de sé si esto es más uno entonces vamos a tener efe de c + 1 - c + gm se nos va a quedar efe de 1 por lo que va a ser el mismo valor de f de uno solo que desplazado lo cual tiene sentido ya que si tenemos este número f 1 aquí pues va a ser equivalente al que está de este otro lado sólo que desplazado un espacio de c y bueno como yo desplace esta función pues en teoría ustedes podrían tener toda esta parte que continúa abajo de c sin embargo yo lo estoy definiendo que esta función va a mostrarse a partir del valor de c lo que está antes vale 0 así que como voy a poner en ceros todo lo que está antes de ser creo que es obvio ya que comencé este vídeo hablándoles de la función escalón unitario así que qué pasaría si yo multiplico mis funciones que el unitario por esto que va a pasar bueno voy a tener una nueva función que va a ser mi función escalón c dt x efe dt menos y qué es lo que va a suceder hasta que llegamos al valor de c todo va a ser cero antes de mi valor se en el momento en el que llegó mi valor se va a tener el valor de mi función t menos en el momento que yo alcanzó el valor se me funciona escalón se convierte en 1 esto se vuelve uno y nos queda entonces la función de tm no sé cómo te va a ser de mayor pues va a restar se está menos por lo que nos va a quedar el valor de la función evaluada de 0 en adelante esta es una función construida bastante útil y en un momento vamos a ver la transformada de la plaza de esto y así ustedes podrán apreciar porque esto es una función muy útil pero al menos ustedes ya saben de qué se trata y cómo es que desplazan a una función y ponen ceros todo lo que se encuentra antes de este punto de desplazamiento y ya que les acabo de decir que esta es una función muy útil deberíamos agregar la transformada de laplace de esta función en nuestra tabla de transformadas de la plaza así que vamos a hacerlo vamos a hacer la transformada de la plaza y esto de nuestra función escalón se de te vamos a hacerlo de momento en forma general y en los siguientes vídeos veremos cómo aplicar esto pero al menos debemos comprobar por nosotros mismos cuál es la transformada de la plaza de esto bueno la transformada de laplace de cualquier cosa recordemos que es es la integral de 0 a infinito de a la menos 7 x la función lo que pusimos a transformar en este caso nuestra función escalón de cdt multiplicada por la función efe dt menos c de menos c dt y esto pues en general se ve bastante difícil de evaluar pero quizás podríamos encontrar alguna forma de sustituir algo para poder apreciar esto así que vamos a hacer una sustitución aquí déjenme elegir una variable adecuada bueno podremos usar x ya que no estamos ocupando x en ningún lugar aquí x en algunas clases presentan estos alfabetos en latín que por sí solos ya son difíciles de comprender y hacen que el aprendizaje sea un poco más complejo por lo que vamos a usar aquí una equis normal común y corriente y aquí nuestra x va a ser igual a t menos vamos a usarla para sustituir si tenemos latte en ambos lados podremos decir que t es igual a x 6 vamos a ver qué podemos hacer con esta sustitución ahora si obtenemos la derivada en ambos lados de esta igualdad vamos a tener de x va a ser igual a bueno de hecho es de x con respecto a de t esto va a ser igual a 1 porque se es una constante si multiplicamos ambos lados por de t nos va a quedar que de x es igual a de t y esa es una buena sustitución bueno como vamos a tener entonces nuestra integral con esta sustitución esta integral va a hacer cuando te es igual a 0 y cuando te tiene infinito que pasa cuando te es igual a cero qué pasa con esta x cuando ésta t es igual a cero nuestra x va a ser igual a menos bueno de hecho antes de ver esta parte permíteme regresarme un paso anterior a este aunque podríamos continuar haciendo lo que estamos haciendo pero creo que sería un poquito más complicado la explicación podemos simplificar lo bastante antes de entrar a este punto vamos a regresar a nuestra integral antes si quisiéramos nuestra sustitución vamos a tomar la integral de cero y vamos a hermano como luce esta integral como se ve esa función cuando es 0 tenemos esta función escalón aquí por lo que toda esta expresión va a ser igual a 0 toda esta expresión va a ser cero antes de llegar al valor de c debido a que estamos hablando de una función escalón unitario todo esto por definición va a ser igual a cero hasta que llegamos al valor c así que podemos decir que esencialmente no tenemos que tomar la integrada de cuando te es igual a cero hasta cuando te tiene infinito sino cuando te es igual a c así que vamos a reescribir esta integral podemos reescribir nuestra integral desde que te es igual a c hasta que te tiende a infinito de al menos 7 x 1 c que es nuestra función escalón unitario que llegue al valor de c por la función de t menos dt y aquí les quiero indicar que esta función a escalón unitario que tenemos aquí ya no nos es útil ya fue incorporada dentro de estos elementos de la integral por lo que la podemos quitar de aquí y quiero que esto quede muy claro lo que hice yo aquí fue modificar nuestro límite inferior de la integral de 0 a c y bueno ustedes se dieron cuenta porque lo hice al analizar el comportamiento de la función escala unitario en este caso si mantenemos esta función aquí va a ser igual a 0 hasta que lleguemos al valor de c y por definición la integral es el área bajo una curva aquí antes del valor de s no tendríamos curva alguna así que todo esto va a ser igual a 0 para todos los valores menores a c y una vez que lleguemos al valor de c esta integral va a ser igual a ala menos st por efe dt menos hasta este momento es cuando vamos a poder tener ya nuestra función así que si queremos encontrar el área bajo la curva todo esto va a ocurrir a partir del valor de c en adelante así que en lugar de integrar desde igual a 0 a 7 igual infinito comenzamos a integrar es igual a c hasta que éste tiende a infinito y a partir del valor de nuestra función escalón unitario va a ser igual a 1 en todos los rangos de valores de t a partir de c así que bien podemos ignorarlo podemos simplificar nuestra integral definida la integrada de t igual hace hasta t que tiende a infinito de al menos 7 x efe dt - dt y esto nos simplifica bastante las operaciones por eso es que quise hacer la sustitución primero para simplificar por el cambio de variable y los límites de las integrales lo hubiéramos podido hacer pero iba a ser un poquito más complicado pero bueno ahora regresemos a la parte en la que usamos la sustitución de x igual a t menos no está integral se va a convertir cuando t es igual a sé qué pasa con x a pues x es igual a 0 y cuando te tiene infinito bueno pues va a ser un número muy grande - se va a seguir siendo un número muy grande por lo que aquí sigue siendo infinito y esta va a ser la integral de al menos s pero en lugar de t vamos a sustituir el valor de x y xi dijimos que x es igual a tm no sé entonces x + c y ahora lo vamos a multiplicar por la función de tm no sé pero vamos a usar la sustitución x + m no se quede en x y ahora dt es igual de equis así que sustituimos aquí de x y ahora esto comienza a verse interesante esto es igual pues va a ser igual a nuestra integral de 0 a infinito y permíteme expandir un poco esto de ala menos s x menos s porsche por fx de x bueno y ahora esto a que es igual vamos a factorizar esto está ese dice que no tiene que ver con nuestra integral ya que no tiene ningún término en x así que vamos a reescribir todo esto de manera que nos queda la integral impropia de 0 infinito lo escribo aquí para que no se confunden este término de no vamos a escribir en colores diferentes al menos ese por x x el ala menos sc tienen una base en común si yo me explicar a estos dos pues simplemente sumaría los exponentes así que es lo mismo x f x de x y si vemos este término de la ccc es un valor constante no tiene ningún término en x por lo que lo podemos sacar de nuestra integral y nos quedaría entonces el ala menos ss x la integral de 0 a infinito de ala menos sx-f x de x bueno recordemos que es lo que estamos haciendo aquí lo que estamos haciendo es encontrar la transformada de la plaza de nuestra función escalón unitario y dese el valor de c qué es una función de t x una función desplazada dt menos y ahora vemos que esto es igual a lo que acabamos de encontrar recordamos que hicimos una sustitución y simplificamos y nos queda a la - sc por la integral de 0 a infinito al menos s x por fx x hoy lo escribo mejor de x esto que es suena interesante no a qué les parece conocido esto pues esta es la transformada de laplace de x recordemos que la transformada de la plaza de una función de o de una función en x puede ser cualquiera transformada de la plaza de ft es igual a la integral impropia de 0 a infinito a la menos st por ft dt si aquí sustituimos la t por x nos queda esta otra función puedo poner x puedo poner yale no importa éstas son letras oops aquí debe ser una que en lugar de una x de la misma manera pude haber escrito la transformada de la plaza de efe igual a la integral impropia de 0 a infinito de a la menos s porque por efe y de aquí pueden haber puesto cualquier otra letra cuando hacemos la integral ustedes han visto que estas variables desaparecen y nos queda todo en términos de s esto va a ser igual a una función f mayúscula de s así que esto es interesante porque tenemos la transformada de la plaza de ft multiplicado por un factor escalar así que ahora podemos mostrar que la transformada de la plaza la transformada de la plaza de nuestra función escalón unitario dt multiplicado por la función de menos se va a ser igual al menos es ese y es la misma de acá x la transformada de la plaza no sé qué está pasando con esto es transformada de la plaza de ft y esto va a ser igual a la menos sc por la transformada de la plaza de ft aquí ya está mejor escrito este es nuestro resultado excelente ya tenemos este resultado pero que significa que podemos hacer con esto bueno imaginemos que queremos encontrar la transformada de la plaza de nuestra función escalón que comienza en pie dt y digamos que lo multiplicamos por el seno el seno de t - y lo estamos desplazando esta cantidad no sé qué está pasando con esta pluma creo que voy a tener que pasar esto para ver qué está pasando ok mil disculpas porque tuve que hacer una pausa aquí ya que estaba teniendo problemas con mi tableta digital de dibujo pero ahora vamos a reescribir los resultados que acabamos de obtener la transformada de la plaza de nuestra función a escalón unitario que comiencen sé dt multiplicada por una función que está siendo desplazada por un valor ce a la derecha va a ser igual a la menos c por s por la transformada de la plaza de f dt la función efe dt sin el desplazamiento este fue nuestro gran descubrimiento en este vídeo y esto puede parecer un resultado muy extraño sin embargo lo podemos aplicar como podemos hacerlo y aquí es donde estaba yo cuando mi tableta la pluma de mi tableta comenzó a portarse mal forma de la plaza de nuestra función escalón unitario a partir de pi x el seno de t desplazado a la derecha y esto sería igual a a las menos en este caso es pink así que es menos pi por s por la transformada de la plaza de nuestra función sin el desplazamiento de seno dt y por supuesto nosotros ya sabemos cuál es la transformada de la plaza de seno de t es uno entre s cuadrada más uno así que la transformada de la plaza de toda esta cosa que se ve bastante complicada ahora sabemos qué es esto multiplicado por esto o lo escribimos a la menos people s / s cuadrada + 1 en los siguientes vídeos haremos un par de ejemplos más al respecto y estaremos yendo y viniendo entre los dominios de ese y de t al igual que seguiremos trabajando con la transformada de la plaza y les voy a mostrar por qué esto es útil para tomar e invertir varias transformadas de la plaza