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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 4: Integrales de línea en campos vectoriales (artículos)

Construir un vector normal unitario a una curva

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Dada una curva en dos dimensiones, ¿cómo encuentras una función cuya salida sea el vector normal unitario a esta curva?

Antecedentes

Derivadas de funciones vectoriales

Qué vamos a construir

Un vector normal unitario a una curva bidimensional es un vector de norma $1$ ‍ que es perpendicular a la curva en algún punto.
Típicamente, buscamos una función que nos dé todos los vectores normales unitarios a una curva dada, no solo uno.
Para encontrar el vector normal unitario a una curva bidimensional, debes llevar a cabo los siguientes pasos:
- Encontrar el vector tangente, que requiere derivar la función que parametriza la curva.
  - Rotar el vector tangente $90^{\circ}$ ‍, que significa cambiar las coordenadas y hacer una de ellas negativa.
  - Normalizar el resultado, que implica dividir el vector entre su magnitud.
Hablando abstractamente, el resultado que obtienes se ve parecido a:
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍
Para un pequeño paso a lo largo de la curva, piensa en $d x$ ‍ y en $d y$ ‍ como las componentes $x$ ‍ y $y$ ‍ de ese paso, respectivamente, y en $d s$ ‍ como su longitud.

Ejemplo: vectores normales a una curva sinusoidal

Considera la gráfica de la función

f (x) = \sin (x)

Imagina que quieres una función que sea igual a los vectores normales unitarios a esta curva (tal vez porque quieres calcular el flujo que la atraviesa). En otras palabras, para cualquier punto sobre la curva, quieres ser capaz de dar las coordenadas de un vector con magnitud

1

que sea perpendicular a esa curva.

Esto significa que quieres una expresión que tome cualquier punto en la curva y regrese un vector de magnitud

1

que es perpendicular a la curva en ese punto.

Paso 0: parametriza

Antes que nada, necesitamos asegurarnos de que la curva esté en forma paramétrica. Transformar la gráfica de una función en una curva parametrizada es bastante sencillo, tan solo dejamos que el parámetro

t

juegue el papel de

x

$\vec{v} (t) = [\begin{matrix} t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Lo llamo "Paso

0

" porque frecuentemente la curva está definida de forma paramétrica, por lo que no tienes que hacer nada al respecto.

Lo que esto significa para nuestro vector normal unitario es que encontraremos una segunda función vectorial que también está parametrizada por

t

, pero que en vez devolver puntos sobre la curva sinusoidal misma, devuelve vectores normales unitarios a la curva en el punto

\vec{v} (t)

Paso 1: encuentra un vector tangente

Cuando calculas la derivada de una curva parametrizada, esta es igual al vector tangente a la curva:

Si esto no te es familiar, considera revisar el artículo sobre derivadas de funciones vectoriales.

Para nuestro ejemplo, así es como se ve esta operación:

$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t) \\ \frac{d}{d t} (\sin (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Por ejemplo, si consideras

t = π

en esta función, obtienes el siguiente vector:

$\frac{d \vec{v}}{d t} (π) = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (π) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Cuando trasladas este vector de tal forma que su base esté sobre el vector

\vec{v} (π)

, que para nuestra curva es

(π, 0)

, este será tangente a la curva.

Paso 2: rota este vector $90^{\circ}$ ‍

Para transformar un vector tangente en uno normal, rótalo

90^{\circ}

. ¿Cómo lo haces? Intercambia las dos componentes y haz una de ellas negativa:

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]$ ‍

¿Cómo escoges qué componente hacer negativa? Si estás rotando en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, haz negativa la primera componente; si estás rotando en el sentido de las manecillas del reloj, haz negativa la segunda componente.

En nuestro ejemplo, rotemos el vector tangente en el sentido opuesto a las manecillas del reloj, de tal manera que apunte hacia arriba:

$\underset{Vector tangente.}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Vector normal.}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}]}}$ ‍

Paso 3: escálalo para que tenga magnitud $1$ ‍

¡Fantástico! Ahora tenemos un vector normal. Pero para hacerlo unitario, debemos dividir entre su magnitud. En nuestro ejemplo, la magnitud es:

$| | [\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}] | | = \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}}$ ‍

Por lo tanto, nuestra función para el vector normal unitario

\hat{n} (t)

se ve así:

$\hat{n} (t) = [\begin{matrix} - \cos (t) / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \\ 1 / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \end{matrix}]$ ‍

Resumen

Generalicemos los pasos de este ejemplo para ver cómo se aplican a cualquier curva parametrizada.

Paso 0: asegúrate de que la curva esté dada en forma paramétrica.
Paso 1: encuentra el vector tangente al diferenciar la curva parametrizada:
$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍
Paso 2: rota este vector $90^{\circ}$ ‍ al intercambiar sus coordenadas y hacer una de ellas negativa.
$\underset{Vector tangente.}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Vector normal.}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]}}$ ‍
Paso 3: para hacer de este un vector normal unitario, divídelo entre su magnitud:
$\frac{1}{\sqrt{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}} [\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍