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Curso: Principios de ciencias de la computación avanzados (AP Computer Science Principles) > Unidad 1

Lección 2: Números binarios

Números binarios

📺 ¿Prefieres aprender los números binarios en las lecciones de video? Simplemente sáltate este artículo y en su lugar continúa a los videos.

Como humanos, típicamente representamos números en el sistema decimal . Contar hasta diez es tan simple como

1

2

3

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5

6

7

8

9

10

Como acabamos de aprender, las computadoras representan toda la información en bits. Para representar números con sólo

0

s y

1

s, las computadoras usan el sistema binario de números. Así se ve cuando una computadora cuenta hasta diez:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Repaso: números decimales

Antes de explorar cómo funciona el sistema binario, revisemos nuestro viejo amigo, el sistema decimal. Cuando aprendiste a contar, habrás aprendido que el dígito más a la derecha es la posición de las "unidades", el siguiente las "decenas", luego las "centenas", etc.

Otra manera de decirlo es que el dígito en la posición más a la derecha se multiplica por

1

, el número una posición a su izquierda se multiplica por

10

, y el dígito dos posiciones a su izquierda se multiplica por

100

Visualicemos el número

234

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
posición centenas	posición decenas	posición unidades
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Cuando multiplicamos cada dígito por su posición, vemos que

234

es igual a

(2 \times 100) + (3 \times 10) + (4 \times 1)

También podemos pensar en esas posiciones en términos de los potencias de diez. La posición de las unidades se representa al multiplicar por

10^{0}

, la de las decenas por

10^{1}

, y las centenas se representa al multiplicar por

10^{2}

. Para cada posición que agregamos, multiplicamos el dígito en esa posición por la próxima potencia de

10

2	3	4
posición centenas	posición decenas	posición unidades
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

Números binarios

El sistema binario funciona de la misma manera que el decimal. La única diferencia es que en lugar de multiplicar el dígito por una potencia de

10

, lo multiplicamos por una potencia de $2$ ‍.

Veamos el número decimal

1

, que se representa en binario como

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Eso es lo mismo que

(0 \times 8) + (0 \times 4) + (0 \times 2) + (1 \times 1)

, o sea

0 + 0 + 0 + 1

Bien, tal vez podrías haber adivinado ese, ¡ahora un número mayor!

El número decimal

10

se representa en binario como

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Eso es lo mismo que

(1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)

, o sea

8 + 0 + 2 + 0

. De hecho el binario

1010

es igual a

10

decimal.

Ahora intenta tú: ¿Cómo representas en binario el número decimal

6

Si lograste hacerlo, ¡enhorabuena! Si no, no es problema: hay técnicas que te ayudarán a convertir entre los sistemas de números, y es mucho más fácil cuando aprendes estas técnicas.

Convertir decimal a binario

He aquí mi manera favorita de convertir números decimales a binarios:

Toma una hoja de papel o pizarrón.
Pinta rayas para cada bit. Si el número es menor que $16$ ‍, pinta $4$ ‍ rayas. Para números hasta $255$ ‍, pinta $8$ ‍. Números más grandes requieren más bits y toman más tiempo hacerlo a mano, así que nos concentraremos en números menores.
Escribe las potencias de $2$ ‍ bajo cada raya. Empieza a la derecha con $1$ ‍, luego sigue multiplicando por $2$ ‍.
Ahora empieza por la raya más a la izquierda y pregunta: "¿el número es mayor o igual a este valor posicional?". Si repondes sí, escribe $1$ ‍ sobre esa raya y resta esa cantidad del número. Si no, escribe $0$ ‍ y pasa a la siguiente raya.
Continúa así de izquierda a derecha, llevando cuenta del residuo que queda por representar. Cuando termines ¡habrás convertido el número a binario!

Así se hace para el número decimal

6

"Hmm, 6 es menor que 16, así que 4 bits bastan..."

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Bueno, 6 es menor que 8, así que primero escribo 0..."

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"6 es mayor que 4, así que ahora escribo 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Ok, 6 - 4 = 2, así que todavía necesito representar 2. Observo que..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Residuo: 2)

"2 es igual a 2, así que ahora escribo 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

"2 - 2 = 0, así que ¡ya no queda nada por representar!"

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Residuo: 0)

"Lleno un 0 en el último bit, pues he terminado..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

En caso que te lo preguntes: solo hay una manera de representar en binario un número dado, tal como solo hay una manera de representarlo en decimal. Cualquier técnica que utilices para convertir un número decimal a binario debe generar el mismo número.

Intenta otra conversión ahora, con esa técnica o la tuya.

¿Cómo representas en binario el número decimal

11

Ahora uno más grande: ¿Cómo representas en binario el número decimal

25

Patrones en números binarios

En estas dos últimas preguntas, convertiste números impares. Hay algo interesante sobre números impares en binario. Aquí hay algunos otros números impares para darte una idea:

Decimal	Binario
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

¿Puedes ver el patrón?

Comprueba tu comprensión

Si crees haberlo descifrado, prueba esta pregunta: ¿cuál de los siguientes números binarios grandes es impar?

No necesitas convertir esos números grandes a decimales para responder la pregunta; solo necesitas observar un bit de información, el último bit. Esa es siempre la posición de las unidades, y si un número es impar, debe tener un

1

ahi. No hay forma de crear un número impar en el sistema binario sin esa posición, pues las otras son potencias de

2

. Saber esto te da un mejor entendimiento intuitivo de los números binarios.

Hay otro patrón interesante en los números binarios. Observa estos:

Decimal	Binario
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Cada número decimal es una potencia de

2

menos

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Cuando un número binario tiene

1

en todas las posiciones, es igual al máximo número que puede representarse con ese número de bits. Si le sumas

1

a ese número, necesitas agregar otro bit. Es como

9

99

999

en el sistema decimal.

Resulta que el máximo número que puede representarse con

n

bits es

2^{n} - 1

Bits ( $n$ ‍)	Máximo número	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

¿Qué crees: qué representa

11111

en decimal?

Puedes calcular eso muy rápido con nuestra estrategia anterior. Pero hay otra estrategia, si tomas en cuenta lo que acabamos de aprender: puedes contar el número de bits (

5

), calcular

2^{5}

como

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

, y luego restar

1

Todo esto es para ayudarte a entender más intuitivamente el binario. Puedes no recordar todo esto, y está bien. Te esperan muchas prácticas para aumentar tus habilidades.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️¿Tienes alguna pregunta sobre este tópico? Nos encantaría contestarte; ¡simplemente pregunta en el area de preguntas abajo!

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J.
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Nota: Los números binario...” de J.
Nota: Los números binarios tienen una secuencia como los números decimales, estos consistiendo en que serán potencias de 2 por cada numero a la izquierda, i.e: 2^3, 2^2, 2^1, 2^0, se hará la potencia de 2 con su respectiva posición. Ahora si queremos saber el numero que estamos buscando solo hay que multiplicar la posición que tenemos por 1 o 0 dependiendo la secuencia. Dato curioso: toda secuencia binaria terminada en 1 siempre será impar y que si la secuencia solo tiene 1s esta sera su valor en potencia menos 1 .
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marcosgarzonvilchez
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “sus ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄...” de marcosgarzonvilchez
sus
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⠀⢸⣿⡇⠀⠀⣿⣿⡇⠀⠀⠀⠀⠹⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⡿⠃⠀
⠀⣸⣿⡇⠀⠀⣿⣿⡇⠀⠀⠀⠀⠀⠉⠻⠿⣿⣿⣿⣿⡿⠿⠿⠛⢻⣿⡇⠀⠀
⠀⣿⣿⠁⠀⠀⣿⣿⡇⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢸⣿⣧⠀⠀
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⠀⢿⣿⡆⠀⠀⣿⣿⡇⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢸⣿⡇⠀⠀
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Gutiérrez Tovar Alejandro Salomón
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “⠀⠀⠀⠀⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀...” de Gutiérrez Tovar Alejandro Salomón
⠀⠀⠀⠀⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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b021a1cnvazquezoo
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀...” de b021a1cnvazquezoo
⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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⠀⢸⣿⡇⠀⠀⣿⣿⡇⠀⠀⠀⠀⠹⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⣿⡿⠃⠀
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Leandro Ayala Caira
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “⠀⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀...” de Leandro Ayala Caira
⠀⣠⣤⣤⣤⣤⣤⣶⣦⣤⣄⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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