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Curso: Principios de ciencias de la computación avanzados (AP Computer Science Principles) > Unidad 1
Lección 3: Limitaciones al almacenar númerosLímites de números, desbordamiento y redondeo
Cuando los programas de computadora almacenan números en variables, la computadora debe tener una manera de representar ese número en su memoria. Las estrategias son diferentes de acuerdo a si un número es entero o no. Debido a limitaciones en la memoria de computadoras, los programas a veces encuentran problemas con redondeo, desbordamiento, o precisión de variables numéricas.
Representación entera
Un entero es cualquier número que puede escribirse sin una parte fraccional. El mismo término se usa tanto en programación como en matemáticas, así que esperamos que esto te sea familiar.
Todos estos números son enteros:
¿Cómo puede un lenguaje de programación representar esos enteros en la memoria de la computadora? Bueno, las computadoras representan todos los datos con bits, así que al final cada uno de esos números es una secuencia de 0s y 1s.
Como un inicio simple, imaginemos una computadora que utiliza solo 4 bits para representar enteros. Puede usar el primer bit para representar el signo del entero, positivo o negativo, y los otros 3 bits para el valor absoluto.
En ese sistema, el número 1 se representa así:
| 0 | 0 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| +/- | |||
| signo |
El
¿Cuál es el número más grande que puede representarse en este sistema? Llenemos todos los bits con valor
| 0 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|
| +/- | |||
| signo |
Ese es el número positivo
Desbordamiento
¿Qué pasaría si ejecutáramos el siguiente programa en la computadora de 4-bits, donde el entero positivo más grande es 7?
var x = 7;
var y = x + 1;La computadora puede almacenar la variable
x sin problemas, pero y es uno más que el entero más grande que puede representarse con 4 bits. En un caso como éste, la computadora podría reportar un "error de desbordamiento" o mostrar un mensaje como "número es demasiado grande". También puede truncar el número (limitar todos los resultados a 7) o envolver el número (8 se convierte en 0). No queremos llegar a ninguna de estas situaciones, por lo que es importante que conozcamos las limitaciones de nuestro lenguaje y entorno a la hora de escribir programas.
Afortunadamente, la mayoría de las computadoras modernas usan arquitecturas de 64 bits que pueden almacenar enteros increíblemente grandes. En JavaScript, el entero más grande que puede almacenarse de manera segura es 9,007,199,254,740,992, equivalente a
Representación de punto flotante
Hemos visto que hay limitaciones para almacenar enteros en una computadora. Los números que no son enteros, como fracciones y números irracionales, son aún más complicados de representar en la memoria de la computadora.
Considera números como
Los lenguajes de computadora suelen usar representación de punto flotante para los no-enteros (y a veces también para los enteros). Es similar a la "notación científica", una representación que quizá conoces de otras materias.
En la representación de punto flotante, un número se multiplica por una base que se eleva a un exponente:
Dado que las computadoras usan el sistema binario en vez del sistema decimal, la base para números de punto flotante es
Los números entre potencias de 2 se ven así:
¿Qué pasa con los no-enteros? Una vez más, las potencias de
El punto flotante también puede representar fracciones entre potencias de 2:
Una vez que la computadora determina la representación de punto flotante para un número, lo almacena en bits. Las computadoras modernas usan un sistema de 64 bits que usa 1 bit para el signo, 11 bits para el exponente y 52 bits para el número al frente.
Aquí está
11,111,111,011,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000La traducción exacta a bits es más complicada que lo que podemos ver aquí, pero es un gran tema para quienes quieran estudiarloa más a fondo.
Errores de redondeo
Sin embargo, la representación de punto flotante no puede representar por completo todos los números. Considera la fracción
En binario,
101,010,101…¡No podemos almacenar una secuencia infinita en una computadora! En algún momento la computadora debe terminar el número de alguna manera, ya sea cortándolo o redondeándolo al número de punto flotante más cercano. Las computadoras tienen que hacer ésto con frecuencia, ya que aún fracciones exactas como
Con frecuencia no notamos la precisión reducida de la representación de un número hasta que lo usamos en cálculos. Ahí es cuando podemos experimentar un error de redondeo en los resultados.
✏️ Aquí tienes un programa que intenta sumar
Entre mas bits podamos usar, más precisos serán nuestros números y cálculos. Los sistemas modernos de 64 bits ofrecen una precisión suficientemente alta para cálculos de bajo riesgo.
Tal vez en algún momento de tu vida, te escribirás un programa que calcule resultados de votaciones, controle un auto que se maneja a sí mismo, o incluso que lance un cohete. Cuando lo que está en juego es muy importante, la precisión importa.
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Nota: Los entero; son números son aquellos que en la recta numérica no son representados con fracciones. En el código binario los limites se encuentran en potencias de 2, como lo vimos antes, pero cuando se sobrepasa este limite, el ordenador tiende a tener problemas leyéndolo, por eso es importante tener en cuenta los limites. En las fracciones y redondeos las cosas se complican un poco, ya que el ordenador no puede almacenar secuencias infinitas, para esto se redondea al numero mas cercano del decimal para ello y para las fracciones en binario hay ciertas maneras para hacer que aparezcan siendo esta la multiplicación de decimales por potencias de 2.(3 votos)
Dado que las fracciones son más exactas no hay una forma para que las computadoras hagan cálculos con fracciones en lugar de punto flotante?(1 voto)- Hay alguna forma en la que le indiquemos a la computadora que redondee algunos numeros y otros no? por ejemplo que redondee 1|3 pero no 0.1, para que la suma sea mâs precisa(1 voto)
¿Podemos eliminar la precisión de alguna forma? o sea, si en un programa hacemos una operación, tal que nos dé un número exacto, podemos eliminar esa imprecisión haciendo que la precisión sea con menos cifras significativas?(1 voto)- me gustaria saber porque, esto 0.375 se representa asi 11,111,111,011,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000(1 voto)