Para procesar un formulario con jQuery, debes agregar un detector de eventos al elemento del formulario para el evento 'submit':
    $("form").on("submit", function() {
       // procesar formulario
    });
Si estás procesando un formulario enteramente en jQuery, entonces deberías llamar preventDefault() para impedir que la página se recargue:
    $("form").on("submit", function(event) {
       event.preventDefault();
       // procesa formulario
    });
Cuando quieres saber qué escribió un usuario en un campo de entrada en un formulario, típicamente usas val():
    var answer = $("#answer").val();
Dentro de la función callback, puedes referenciar el elemento del formulario usando la palabre clave this. Un patrón común es llamar find() en el elemento del formulario para encontrar solamente campos de entrada dentro del elemento del formulario:
    $("form").on("submit", function() {
      // almacena el valor de la entrada con name='age' 
       var age = $(this).find('[name=age]').val();
    });