Búsqueda binaria

La búsqueda binaria es un algoritmo eficiente para encontrar un elemento en una lista ordenada de elementos. Funciona al dividir repetidamente a la mitad la porción de la lista que podría contener al elemento, hasta reducir las ubicaciones posibles a solo una. Usamos la búsqueda binaria en el juego de adivinar en la lección introductoria.

Una de las maneras más comunes de usar la búsqueda binaria es para encontrar un elemento en un arreglo. Por ejemplo, el catálogo estelar Tycho-2 contiene información acerca de las 2,539,913 estrellas más brillantes en nuestra galaxia. Supón que quieres buscar en el catálogo una estrella en particular, con base en el nombre de la estrella. Si el programa examinara cada estrella en el catálogo estelar en orden empezando con la primera, un algoritmo llamado búsqueda lineal, la computadora podría, en el peor de los casos, tener que examinar todas las 2,539,913 de estrellas para encontrar la estrella que estás buscando. Si el catálogo estuviera ordenado alfabéticamente por nombres de estrellas, la búsqueda binaria no tendría que examinar más de 22 estrellas, incluso en el peor de los casos.

Los siguientes artículos discuten cómo describir cuidadosamente el algoritmo, cómo implementar el algoritmo en JavaScript y cómo analizar su eficiencia.

Al describir un algoritmo para un ser humano, a menudo es suficiente una descripción incompleta. Algunos detalles pueden quedar fuera de una receta de un pastel; la receta supone que sabes cómo abrir el refrigerador para sacar los huevos y que sabes cómo romper los huevos. La gente puede saber intuitivamente cómo completar los detalles faltantes, pero los programas de computadora no. Es por eso que necesitamos describir completamente los algoritmos computacionales.

Para poder implementar un algoritmo en un lenguaje de programación, necesitarás entender un algoritmo hasta sus últimos detalles. ¿Cuáles son las entradas del problema? ¿Las salidas? ¿Qué variables deben crearse, y qué valores iniciales deben tener? ¿Qué pasos intermedios deben tomarse para calcular otros valores y calcular en última instancia la salida? ¿Estos pasos repiten instrucciones que se pueden escribir en forma simplificada al usar un bucle?

Veamos cómo describir cuidadosamente la búsqueda binaria. La idea principal de la búsqueda binaria es llevar un registro del rango actual de intentos razonables. Digamos que estoy pensando en un número entre uno y 100, justo como en el juego de adivinar. Si ya intentaste decir 25 y te dije que mi número es más grande, y ya intentaste decir 81 y te dije que mi número es más chico, entonces los números en el rango de 26 a 80 son los únicos intentos razonables. Aquí, la sección roja de la recta numérica contiene los intentos razonables, y la sección negra muestra los intentos que hemos descartado:

En cada turno, haces un intento que divide el conjunto de intentos razonables en dos rangos de aproximadamente el mismo tamaño. Si tu intento no es correcto, entonces te digo si es muy alto o muy bajo, y puedes eliminar aproximadamente la mitad de los intentos razonables. Por ejemplo, si el rango actual de los intentos razonables es de 26 a 80, intentarías adivinar a la mitad del camino, $(26 + 80) / 2$left parenthesis, 26, plus, 80, right parenthesis, slash, 2, o 53. Si después te digo que 53 es demasiado alto, puedes eliminar todos los números de 53 a 80, dejando 26 a 52 como el nuevo rango de intentos razonables, reduciendo a la mitad el tamaño del rango.

Para el juego de adivinar, podemos llevar un registro del conjunto de intentos razonables al usar unas cuantas variables. Sea la variable $min$m, i, n el intento razonable mínimo actual para esta ronda, y sea la variable $max$m, a, x el intento razonable máximo actual. La entrada (o input en inglés) al problema es el número $n$n, el mayor número posible que tu oponente está pensando. Suponemos que el menor número posible es uno, pero sería fácil modificar el algoritmo para tener el menor número posible como una segunda entrada.

Aquí está una descripción paso a paso de cómo usar la búsqueda binaria para jugar el juego de adivinar:

Podríamos hacer que la descripción fuera todavía más precisa al describir claramente las entradas y las salidas del algoritmo y al clarificar qué queremos decir con instrucciones como "adivina un número" y "detente". Pero esto es suficiente detalle por ahora.

A continuación, vamos a ver cómo podemos utilizar la búsqueda binaria en un arreglo, y discutir discutir cómo convertir las descripciones de los algoritmos a código real que funcione.

Este contenido es una colaboración de los profesores de Dartmouth Computer Science Thomas Cormen y Devin Balkcom junto con el equipo de contenidos de computación de Khan Academy. El contenido está bajo licencia CC-BY-NC-SA.