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Ciencias de la computación
Curso: Ciencias de la computación > Unidad 2
Lección 5: Aritmética modular- ¿Qué es la aritmética modular?
- Operador módulo
- Desafío de módulo
- Congruencia módulo
- Relación de congruencia
- Relaciones de equivalencia
- El teorema del cociente y del residuo
- Suma y resta modular
- Suma modular
- Desafío de módulo (suma y resta)
- Multiplicación modular
- Multiplicación modular
- Exponenciación modular
- Exponenciación modular rápida
- Exponenciación modular rápida
- Inversos modulares
- El algoritmo de Euclides
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Congruencia módulo
Congruencia módulo
Puede que veas una expresión como:
Esto dice que A es congruente con B módulo C.
Vamos a discutir el significado de la congruencia módulo al realizar un experimento con el operador regular de módulo.
Imaginemos que estamos calculando mod 5 para todos los enteros:
Supongamos que etiquetamos 5 rebanadas con 0, 1, 2, 3, 4. Luego, para cada uno de los números enteros, lo ponemos en una rebanada que coincida con el valor del entero mod 5.
Piensa en estas rebanadas como cubetas que contienen un conjunto de números. Por ejemplo, 26 iría en la rebanada etiquetada 1, porque 26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1.
Arriba está una figura que muestra algunos enteros que encontraríamos en cada una de las rebanadas.
Piensa en estas rebanadas como cubetas que contienen un conjunto de números. Por ejemplo, 26 iría en la rebanada etiquetada 1, porque 26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1.
Arriba está una figura que muestra algunos enteros que encontraríamos en cada una de las rebanadas.
Sería útil tener una manera de expresar que algunos números pertenecen a la misma rebanada. (Observa que en el ejemplo de arriba, 26 está en la misma rebanada que 1, 6, 11, 16, 21).
Una manera común de expresar que dos valores están en la misma rebanada, es decir que están en la misma clase de equivalencia.
La manera en que expresamos esto matemáticamente para mod C es: A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
La manera en que expresamos esto matemáticamente para mod C es: A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
La expresión anterior se pronuncia A es congruente con B módulo C.
Al examinar más de cerca la expresión:
- \equiv es el símbolo de congruencia, lo que significa que los valores A y B están en la misma clase de equivalencia.
- left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis nos dice qué operación le aplicamos a A y a B.
- Cuando tenemos ambos, a “\equiv” lo llamamos congruencia módulo C.
Por ejemplo 26, \equiv, 11, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis.
26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1 así que está en la clase de equivalencia para 1,
11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1 así que también está en la clase de equivalencia para 1.
11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1 así que también está en la clase de equivalencia para 1.
Ten en cuenta que esto es distinto de A, start text, space, m, o, d, space, end text, C: 26, does not equal, 11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5.
Ideas sobre congruencia módulo
Podemos tener un mejor entendimiento de lo que significa la congruencia módulo al realizar el mismo experimento pensado al usar un entero positivo C.
Primero, etiquetaríamos C rebanadas 0, comma, 1, comma, 2, comma, dots, comma, C, minus, 2, comma, C, minus, 1.
Luego, pondríamos cada uno de los números enteros en una rebanada que coincidiera con el valor del entero start text, m, o, d, space, end text, C.
A continuación hay una figura que muestra algunos valores representativos que encontraríamos en cada una de las rebanadas.
Primero, etiquetaríamos C rebanadas 0, comma, 1, comma, 2, comma, dots, comma, C, minus, 2, comma, C, minus, 1.
Luego, pondríamos cada uno de los números enteros en una rebanada que coincidiera con el valor del entero start text, m, o, d, space, end text, C.
A continuación hay una figura que muestra algunos valores representativos que encontraríamos en cada una de las rebanadas.
Si miráramos en la cubeta etiquetada con 0, encontraríamos:
Si miráramos en la cubeta etiquetada con 1, encontraríamos:
Si miráramos en la cubeta etiquetada con 2, encontraríamos:
Si miráramos en la cubeta etiquetada con C, minus, 1, encontraríamos:
A partir de este experimento podemos hacer una observación clave:
Los valores en cada una de las rebanadas son iguales a la etiqueta en la rebanada, más o menos un múltiplo de C.
Esto significa que la diferencia entre cualesquiera dos valores en una rebanada es un múltiplo de C.
Esta observación puede ayudarnos a entender proposiciones equivalentes y clases de equivalencia a continuación.
Los valores en cada una de las rebanadas son iguales a la etiqueta en la rebanada, más o menos un múltiplo de C.
Esto significa que la diferencia entre cualesquiera dos valores en una rebanada es un múltiplo de C.
Esta observación puede ayudarnos a entender proposiciones equivalentes y clases de equivalencia a continuación.
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aquí les dejo las respuestas del siguiente desafío(todas las que pude conseguir)
--4(mod3)=-1 y 35
-17(mod5)=12
-11(mod8)=ninguna
--10(mod15)=-25,5y 35
--2(mod2)= -44,12y26
--5(mod13)=-21,5,31
-9(mod6)=27
-17(mod4)=-43y25
--13(mod10)=-33y27
-26(mod7)=-23y-2
-14(mod9)=ninguna
-7(mod12)=-43,5,29
-47(mod13)=34
-24(mod9)=-48
-43(mod4)=-7y45
-47(mod14)=23
--30(mod12)=-18
--15(mod1)=todas menos ninguna
-19(mod5)=-11y54
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