Exploremos la propiedad de la suma de la aritmética modular:

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

Ejemplo:

Sean A=14, B=17, C=5.
Verifiquemos que: (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
LI = lado izquierdo de la ecuación.
LD = lado derecho de la ecuación.
LI = (A + B) mod C
LI = (14 + 17) mod 5
LI = 31 mod 5
LI = 1
LD = (A mod C + B mod C) mod C
LD = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
LD = (4 + 2) mod 5
LD = 1
LI = LD = 1

Intuición detrás de la suma modular

Observa la siguiente figura. Si queremos calcular 12+9 mod 7, podemos fácilmente ir alrededor del círculo modular por una secuencia de 12+9 pasos en sentido de las manecillas del reloj (como se muestra en el círculo inferior izquierdo).
mod
Podemos tomar un atajo si observamos que cada 7 pasos terminamos en la misma posición en el círculo modular. Estas vueltas completas alrededor del círculo modular no contribuyen a nuestra posición final. Podemos ignorar estas vueltas completas alrededor del círculo al calcular cada número mod 7 (como se muestra en los dos círculos modulares superiores). Esto nos dará el número de pasos en sentido de las manecillas del reloj, relativos al 0, que contribuyen a cada una de las posiciones finales alrededor del círculo modular.
Ahora, solo tenemos que ir alrededor del círculo en sentido de las manecillas del reloj el número total de pasos que contribuyen a la posición final de cada número (como se muestra en al círculo modular inferior derecho). Este método aplica, en general, a cualesquiera dos enteros y cualquier círculo modular.

Demostración de la suma modular

Probaremos que (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
Debemos mostrar que LI=LD
A partir del teorema del cociente y del residuo podemos escribir A y B como:
A = C * Q1 + R1 donde 0 ≤ R1 < C y Q1 son enteros. A mod C = R1
B = C * Q2 + R2 donde 0 ≤ R2 < C y Q2 son enteros. B mod C = R2
(A + B) = C * (Q1 + Q2) + R1+R2
LI = (A + B) mod C
LI = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
Podemos eliminar los múltiplos de C cuando tomamos mod C.
LI = (R1 + R2) mod C
LD = (A mod C + B mod C) mod C
LD = (R1 + R2) mod C
LI=LD= (R1 + R2) mod C

Resta modular

Una prueba muy similar se hace para la resta modular:

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C