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Inversos modulares

¿Qué es un inverso?

Recuerda que un número multiplicado por su inverso es igual a 1. De la aritmética básica sabemos que:
  • El inverso de un número A es 1/A ya que A * 1/A = 1 (por ejemplo, el inverso de 5 es 1/5)
  • Todos los números reales que no sean 0 tienen un inverso
  • Multiplicar un número por el inverso de A es equivalente a dividir entre A (por ejemplo, 10/5 es lo mismo que 10* 1/5)

¿Qué es un inverso modular?

En aritmética modular no tenemos una operación de división. Sin embargo, sí tenemos inversos modulares.
  • El inverso modular de A (mod C) es A^-1
  • (A * A^-1) ≡ 1 (mod C) o, de manera equivalente, (A * A^-1) mod C = 1
  • Solo los primos relativos de C (los números que no comparten factores primos con C) tienen un inverso modular (mod C)

¿Cómo encontrar un inverso modular?

Un método ingenuo de encontrar un inverso modular para A (mod C) es:
Paso 1. Calcula A * B mod C b para los valores de B entre 0 y C-1.
Paso 2. El inverso modular de A mod C es el valor B que hace que se cumpla A * B mod C = 1.
Observa que el término B mod C solo puede tener un valor entero entre 0 y C-1, así que probar valores mayores de B es redundante.

Ejemplo: A=3, C=7

Paso 1. Calcula A * B mod C para los valores de B entre 0 y C-1

3 * 0 ≡ 0 (mod 7)
3 * 1 ≡ 3 (mod 7)
3 * 2 ≡ 6 (mod 7)
3 * 3 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
3 * 4 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
3 * 5 ≡ 15 (mod 7) ≡ 1 (mod 7)   <------ ​¡ENCONTRASTE EL INVERSO!
3 * 6 ≡ 18 (mod 7) ≡ 4 (mod 7)

Paso 2. El inverso modular de A mod C es el valor B que hace A * B mod C = 1

5 es el inverso modular de 3 mod 7 ya que 5*3 mod 7 = 1.
¡Fácil!
Hagamos un ejemplo más en donde no encontremos un inverso.

Ejemplo: A=2 C=6.

Paso 1. Calcula A * B mod C para los valores de B entre 0 y C-1

2 * 0 ≡ 0 (mod 6)
2 * 1 ≡ 2 (mod 6)
2 * 2 ≡ 4 (mod 6)
2 * 3 ≡ 6 ≡ 0 (mod 6)
2 * 4 ≡ 8 ≡ 2 (mod 6)
2 * 5 ≡ 10 ≡ 4 (mod 6)

Paso 2. El inverso modular de A mod C es el valor B que hace A * B mod C = 1

Ningún valor de B hace que se cumpla A * B mod C = 1. Por lo tanto, A no tiene inverso modular (mod 6).
Esto es porque 2 no es primo relativo de 6 (comparten el factor primo 2).

Este método parece lento...

Hay un método mucho más rápido para encontrar el inverso de A (mod C) que vamos a discutir en los siguientes artículos sobre el algoritmo de Euclides extendido.

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  • Avatar blobby green style para el usuario asefadoj
    Sera que en el apartado "¿Como encontrar un inverso modular?" hay un error de edición? No entiendo la siguente parte: "Paso 1. Calcula A * B mod C b para los valores de B entre 0 y C-1." La "b" minuscula esta demas? Gracias. Esta muy bien explicado este articulo, me confundi. Quizas solo le falte una coma. Pero logre enterlo gracias a este articulo! Gracias.
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  • Avatar primosaur seedling style para el usuario orozco dinorha
    entonces un inversor modular es lo mismo de un neutro aditivo multiplicador
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  • Avatar blobby green style para el usuario v.lenam01
    este es la magia del modulo
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Abner Palma
    Sera que en el apartado "¿Como encontrar un inverso modular?" hay un error de edición? No entiendo la siguente parte: "Paso 1. Calcula A * B mod C b para los valores de B entre 0 y C-1." La "b" minuscula esta demas? Gracias. Esta muy bien explicado este articulo, me confundi. Quizas solo le falte una coma. Pero logre enterlo gracias a este articulo! Gracias.
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