El teorema del cociente y del residuo

Cuando queremos demostrar algunas propiedades de la aritmética modular, a menudo usamos el teorema del cociente y del residuo.
Es una idea sencilla que viene directamente de la división larga.
El teorema del cociente y del residuo dice:
Dado cualquier entero A y un entero positivo B, existen dos enteros únicos Q y R tales que:
A= B * Q + R donde 0 ≤ R < B
Podemos ver que esto viene directamente de la división larga. Cuando dividimos A entre B en la división larga, Q es el cociente y R es el residuo.
Si podemos escribir un número en esta forma, entonces A mod B = R.

Ejemplos

A = 7, B = 2
7 = 2 * 3 + 1
7 mod 2 = 1
A = 8, B = 4
8 = 4 * 2 + 0
8 mod 4 = 0
A = 13, B = 5
13 = 5 * 2 + 3
13 mod 5 = 3
A = -16, B = 26
-16 = 26 * -1 + 10
-16 mod 26 = 10