El teorema del cociente y del residuo

Cuando queremos demostrar algunas propiedades de la aritmética modular, a menudo usamos el teorema del cociente y del residuo.
Es una idea sencilla que viene directamente de la división larga.

El teorema del cociente y del residuo dice:
Dado cualquier entero A y un entero positivo B, existen dos enteros únicos Q y R tales que:

Podemos ver que esto viene directamente de la división larga. Cuando dividimos A entre B en la división larga, Q es el cociente y R es el residuo.
Si podemos escribir un número en esta forma, entonces A mod B = R.

A = 7, B = 2

7 = 2 * 3 + 1
7 mod 2 = 1

A = 8, B = 4

8 = 4 * 2 + 0
8 mod 4 = 0

A = 13, B = 5

13 = 5 * 2 + 3
13 mod 5 = 3

A = -16, B = 26

-16 = 26 * -1 + 10
-16 mod 26 = 10