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Ciencias de la computación
Curso: Ciencias de la computación > Unidad 2
Lección 5: Aritmética modular- ¿Qué es la aritmética modular?
- Operador módulo
- Desafío de módulo
- Congruencia módulo
- Relación de congruencia
- Relaciones de equivalencia
- El teorema del cociente y del residuo
- Suma y resta modular
- Suma modular
- Desafío de módulo (suma y resta)
- Multiplicación modular
- Multiplicación modular
- Exponenciación modular
- Exponenciación modular rápida
- Exponenciación modular rápida
- Inversos modulares
- El algoritmo de Euclides
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¿Qué es la aritmética modular?
Una introducción a la matemática modular
Cuando dividimos dos enteros, tenemos una ecuación que se ve como lo siguiente:
A es el dividendo
B es el divisor
Q es el cociente
R es el residuo
B es el divisor
Q es el cociente
R es el residuo
A veces, solo estamos interesados en cuánto es el residuo cuando dividimos A entre B.
Para estos casos hay un operador llamado el operador módulo (abreviado como mod).
Para estos casos hay un operador llamado el operador módulo (abreviado como mod).
Al usar los mismos A, B, Q y R que arriba, tendríamos: A, start text, space, m, o, d, space, end text, B, equals, R
Esto lo diríamos como A módulo B es igual a R. Donde a B se le conoce como el módulo.
Por ejemplo:
Visualizar el módulo con relojes
Observa lo que pasa cuando incrementamos números de uno en uno y luego los dividimos entre 3.
Los residuos comienzan en 0 y se incrementan en 1 cada vez, hasta que el número alcanza uno menos que el número entre el que estamos dividiendo. Después de eso, la secuencia se repite.
Al darnos cuenta de esto, podemos visualizar el operador módulo al usar círculos.
Escribimos 0 en la parte superior de un círculo y continuamos en sentido de las manecillas del reloj escribiendo enteros 1, 2, ... hasta uno menos que el módulo.
Por ejemplo, un reloj con el 12 sustituido por un 0 sería el círculo para un módulo de 12.
Para encontrar el resultado de A, start text, space, m, o, d, space, end text, B podemos seguir estos pasos:
- Construye este reloj para el tamaño B.
- Empieza en 0 y muévete alrededor del reloj A pasos
- Dondequiera que caigamos es nuestra solución.
(Si el número es positivo, damos un paso en sentido de las manecillas del reloj, si es negativo damos un paso en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Ejemplos
8, start text, space, m, o, d, space, end text, 4, equals, question mark
Con un módulo de 4 hacemos un reloj con los números 0, 1, 2, 3.
Empezamos en 0 y nos movemos 8 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
Empezamos en 0 y nos movemos 8 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
Terminamos en 0, así que 8, start text, space, m, o, d, space, end text, 4, equals, 0.
7, start text, space, m, o, d, space, end text, 2, equals, question mark
Con un módulo de 2 hacemos un reloj con los números 0, 1.
Empezamos en 0 y nos movemos 7 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Empezamos en 0 y nos movemos 7 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Terminamos en 1, así que 7, start text, space, m, o, d, space, end text, 2, equals, 1.
minus, 5, start text, space, m, o, d, space, end text, 3, equals, question mark
Con un módulo de 3 hacemos un reloj con los números 0, 1, 2.
Empezamos en 0 y nos movemos 5 números en una secuencia en sentido contrario a las manecillas del reloj (-5 es negativo) de 2, 1, 0, 2, 1.
Empezamos en 0 y nos movemos 5 números en una secuencia en sentido contrario a las manecillas del reloj (-5 es negativo) de 2, 1, 0, 2, 1.
Terminamos en 1, así que minus, 5, start text, space, m, o, d, space, end text, 3, equals, 1.
Conclusión
Si tenemos A, start text, space, m, o, d, space, end text, B e incrementamos A por un múltiplo de B, terminaremos en el mismo lugar, es decir,
A, start text, space, m, o, d, space, end text, B, equals, left parenthesis, A, plus, K, dot, B, right parenthesis, start text, space, m, o, d, space, end text, B para cualquier entero K.
Por ejemplo:
Notas al lector
mod en lenguajes de programación y calculadoras
Muchos lenguajes de programación, y calculadoras, tienen un operador mod, típicamente representado con el símbolo %. Si calculas el resultado de un número negativo, algunos lenguajes te darán un resultado negativo.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
-5 % 3 = -2.Congruencia módulo
Puede que veas una expresión como:
A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis, point
Esto dice que A es congruente con B módulo C. Es parecida a las expresiones que usamos aquí, pero no es precisamente lo mismo.
En el siguiente artículo explicaremos lo que significa y cómo se relaciona con las expresiones anteriores.
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Ok quisiera saber si estos dos ejercicios tienen solucion
1) 86 mod -6
2) -128 mod -45
Agradeceria su atencion inmediata,Gracias.(4 votos)
1) 86=cociente que es 86%-6= -14.333(-15) x (-6) + R
86=(-15)x(-6)+R
86=90+R
-90+86=R
R=-4(4 votos)
- como seria para calcular -4 mod 27?(3 votos)
- Si aun no te han respondido. Sabes que A mod B es lo mismo que (A + k.B) mod B, entonces lo que haces es sumarle a A un multiplo de B, con el fin de que A se vuelva mayor a cero, en este caso el 27 es suficiente para eso por lo que te quedaria:
-4 mod 27 = (27-4) mod 27 = 23(3 votos)
Como se puede diferenciar.(3 votos)
Hola! en el ejemplo 13/5 = 2,6 entonces el residuo "3" no se refiere al decimal. A que se refiere entonces?
Muchas gracias!(2 votos)
Hola! Se refiere a lo que sobra de la división entera. En tu ejemplo:
13/5, el entero es 2, ya que 5*2 = 10 y lo que nos "falta" para alcanzar el 13 es el residuo, que precisamente es 3 (13 = 5*2 + 3).
Espero que haya aclarado la duda.(6 votos)