Una introducción a la matemática modular

Cuando dividimos dos enteros, tenemos una ecuación que se ve como lo siguiente:
start fraction, A, divided by, B, end fraction, equals, Q, space, r, e, s, i, d, u, o, space, R, point
A es el dividendo
B es el divisor
Q es el cociente
R es el residuo
A veces, solo estamos interesados en cuánto es el residuo cuando dividimos A entre B.
Para estos casos hay un operador llamado el operador módulo (abreviado como mod).
Al usar los mismos A, B, Q y R que arriba, tendríamos: A, space, m, o, d, space, B, equals, R
Esto lo diríamos como A módulo B es igual a R. Donde a B se le conoce como el módulo.
Por ejemplo:

Visualizar el módulo con relojes

Observa lo que pasa cuando incrementamos números de uno en uno y luego los dividimos entre 3.
Los residuos comienzan en 0 y se incrementan en 1 cada vez, hasta que el número alcanza uno menos que el número entre el que estamos dividiendo. Después de eso, la secuencia se repite.
Al darnos cuenta de esto, podemos visualizar el operador módulo al usar círculos.
Escribimos 0 en la parte superior de un círculo y continuamos en sentido de las manecillas del reloj escribiendo enteros 1, 2, ... hasta uno menos que el módulo.
Por ejemplo, un reloj con el 12 sustituido por un 0 sería el círculo para un módulo de 12.
Para encontrar el resultado de A, space, m, o, d, space, B podemos seguir estos pasos:
  1. Construye este reloj para el tamaño B.
  2. Empieza en 0 y muévete alrededor del reloj A pasos
  3. Dondequiera que caigamos es nuestra solución.
(Si el número es positivo, damos un paso en sentido de las manecillas del reloj, si es negativo damos un paso en sentido contrario a las manecillas del reloj).

Ejemplos

8, space, m, o, d, space, 4, equals, question mark

Con un módulo de 4 hacemos un reloj con los números 0, 1, 2, 3.
Empezamos en 0 y nos movemos 8 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
Terminamos en 0, así que .

7, space, m, o, d, space, 2, equals, question mark

Con un módulo de 2 hacemos un reloj con los números 0, 1.
Empezamos en 0 y nos movemos 7 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Terminamos en 1, así que .

minus, 5, space, m, o, d, space, 3, equals, question mark

Con un módulo de 3 hacemos un reloj con los números 0, 1, 2.
Empezamos en 0 y nos movemos 5 números en una secuencia en sentido contrario a las manecillas del reloj (-5 es negativo) de 2, 1, 0, 2, 1.
Terminamos en 1, así que .

Conclusión

Si tenemos A, space, m, o, d, space, B e incrementamos A por un múltiplo de , terminaremos en el mismo lugar, es decir,
A, space, m, o, d, space, B, equals, left parenthesis, A, plus, K, dot, B, right parenthesis, space, m, o, d, space, B para cualquier entero .
Por ejemplo:

Notas al lector

mod en lenguajes de programación y calculadoras

Muchos lenguajes de programación, y calculadoras, tienen un operador mod, típicamente representado con el símbolo %. Si calculas el resultado de un número negativo, algunos lenguajes te darán un resultado negativo.
Por ejemplo:
-5 % 3 = -2

Congruencia módulo

Puede que veas una expresión como:
AB (mod C). A \equiv B\ (\text{mod } C).
Esto dice que A es congruente con B módulo C. Es parecida a las expresiones que usamos aquí, pero no es precisamente lo mismo.
En el siguiente artículo explicaremos lo que significa y cómo se relaciona con las expresiones anteriores.