1. Promedio ponderado de dos puntos

así hasta ahora nuestra discusión ha sido en su mayoría visual y geométrica y eso es bueno porque así es como piensan nuestros artistas pero en pixar también tenemos que crear programas de computadora y las computadoras piensan mejor en términos de números ecuaciones y álgebra así que de alguna manera tenemos que conectar esos dos mundos el mundo de las imágenes y geometría y el mundo de la álgebra de los números y las ecuaciones de hecho este puente entre los dos mundos fue una de las cosas que realmente me atrajeron a los gráficos por computadora desde el principio me pareció muy interesante como el álgebra y la geometría conspiran para crear arte entonces lo que haremos es desarrollar una fórmula que nos permita calcular los puntos con exactitud en una parábola y esta fórmula nos permitirá escribir programas de computadora como este que permite dibujar la parábola sin tener que dibujar alguna de las líneas de construcción nuestro primer paso en la búsqueda de esta fórmula es generalizar la idea de promedio o puntos medios a la idea de promedios ponderados entonces analicemos nuevamente nuestro segmento de línea ave pero en lugar de que la computadora calcula el punto medium supongamos que quiero calcular un punto en donde ben tenga el doble de importancia que no hay nada particularmente especial sobre que b tenga el doble de importancia que am es sólo un ejemplo sencillo de un punto que no es el punto medio entonces en álgebra podríamos decir que m es una copia de a más dos copias de pep y después tenemos que dividir entre tres para que esto sea un promedio adecuado y puede escribirlo aún más simple como a más 2 b entre 3 y ahora podemos escribirlo en una forma final y de esta forma final sería un tercio de a porque observamos que tenemos un 1 implícito antes de am y después tenemos dos tercios antes de ver entonces me quedaría dos tercios debe y además puedes observar que este un tercio más estos dos tercios es igual a 1 esa es otra forma de decir que este es un promedio adecuado entonces esa es el álgebra ahora echemos un vistazo a la geometría bueno la geometría dice que la longitud a m tendrá una razón de dos tercios respecto a esta longitud mt que está a una razón de un tercio ahora observen que el álgebra dice que los dos tercios están con ver pero la geometría dice que los dos tercios están opuestos a b y eso parece un poco raro en principio pero si lo pensamos un poco tiene sentido porque si hubiera un gran peso frente a vélez esperaríamos que este punto estuviera muy cerca de p ok pero podemos generalizar esto aún más déjame reemplazar el dos tercios de aquí una fracción arbitraria llamada t entonces la t se queda con la p en álgebra y ahora para que esto sea un promedio adecuado necesito poner algo en frente de a pero si a ese algo le sumamos temp entonces eso tendría que ser igual a 1 y ese algo que cuando le sumamos usted es uno es la fracción 1 - tema entonces ahora mi expresión es uno menos temporal más de por ver esa es el álgebra de esta situación generalizada y la geometría es que estos dos tercios van a ser reemplazados por t mientras que esté un tercio va a ser reemplazado por uno menos t entonces obtengamos un poco de intuición para esta idea usando este interactivo aquí tenemos un segmento de línea pero puedo arrastrarla y podemos ver las coordenadas de amd y las coordenadas de b y como acabo de abrir el interactivo el punto que está calculado es el punto medio por eso está en la mitad entre a y b pero ahora puedo desplazar ese punto hacia donde yo quiera a lo largo de esta línea y eso corresponde simplemente a cambiar el valor de t entonces diferentes valores de temp me dan diferentes posiciones a lo largo de la línea en los siguientes ejercicios tendrán la oportunidad de obtener un poco de experiencia con la idea de promedios ponderados