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Contenido principal

Desafío extra

Este artículo te da una guía paso a paso de cómo se pueden calcular las fronteras en un diagrama de Voronoi.

La geometría de las particiones de Voronoi

Una partición de Voronoi se hace al tomar un conjunto de sitios dispuestos en la pantalla y dibujar fronteras entre ellos, de tal manera que cada frontera esté exactamente a la mitad entre los sitios a cada lado de ella.

Dividir dos sitios

Vamos a empezar con dos sitios, A y B. Cada punto en la recta que los divide está a la misma distancia de A y de B. ¿Qué otras propiedades tiene esta recta?
Lo primero que podemos hacer es dibujar un segmento de recta de A a B. Como todos los puntos en la frontera están a la misma distancia de A y de B, la frontera va a cruzar AB en el punto medio, M.
Puedes aprender más sobre puntos medios aquí.
Ahora podemos escoger otro punto en la frontera, P, y hacer dos triángulos: AMP y BMP.
El punto P está en la frontera, así que sabemos que AP=BP.
También sabemos que AM=BM y que ambos triángulos comparten el lado MP.
Como ambos triángulos comparten tres longitudes laterales, son triángulos semejantes. Puedes aprender más sobre triángulos semejantes aquí.
Como AMP y BMP son semejantes, sabemos que AMP=BMP. Como ambos ángulos están en una línea recta (la recta AB), sabemos que AMP+BMP=180. Entonces ambos ángulos deben ser de 90.
Por lo tanto, la frontera entre A y B es la mediatriz de la recta AB. Puedes aprender más sobre mediatrices aquí.

Dividir tres sitios

Así que sabemos que la frontera entre dos sitios es una mediatriz de la recta que une a esos dos sitios. ¿Cómo podemos usar esta información para encontrar la partición de Voronoi de estos tres sitios? Primero, vamos a empezar por dibujar rectas entre los sitios.
Después vamos a encontrar los puntos medios de las aristas y a dibujar las mediatrices de cada arista.
Observa que las tres mediatrices se encuentran en un punto, V. Como cada mediatriz está a la misma distancia de dos sitios y V está sobre las tres, V debe estar a la misma distancia de los tres sitios. Por lo tanto, V es un vértice de nuestra partición de Voronoi. Podemos dibujar nuestras fronteras finales al empezar en este vértice y continuar por cada uno de los puntos medios.

Preguntas

  1. ¿Cuál es el término para el punto V en relación al ABC?
  2. ¿Bajo qué circunstancias las mediatrices no se van a intersecar?

El álgebra de las particiones de Voronoi

Ya que vimos algo de la geometría de una partición de Voronoi sencilla, vamos a usar álgebra para calcular las coordenadas de un vértice en una partición de Voronoi.
Digamos que tenemos tres sitios A, B y C con coordenadas:
A=(30,60)
B=(90,80)
C=(150,20)
Primero vamos a calcular la ecuación para la mediatriz de AB. Sabemos que esta recta va a pasar por el punto medio de AB y tener el inverso negativo de la pendiente de AB.
Aprende cómo calcular la ecuación de una recta perpendicular aquí.
¿Cuál es el punto medio de AB? (
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
,
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
)

¿Cuál es la pendiente de AB?
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4

¿Cuál es la pendiente de la mediatriz de AB?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

¿Cuál es la ecuación de la mediatriz de AB?
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
x+
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Ya que tenemos la ecuación para la mediatriz de AB, podemos usar el mismo método para calcular la mediatriz de BC.
¿Cuál es la ecuación de la mediatriz de BC?
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
x+
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Ya que tenemos las ecuaciones de dos mediatrices podemos calcular dónde se intersecan. Si usamos m1 y b1 para representar la pendiente y la intersección con el eje y de la primera mediatriz, y m2 y b2 para representar la pendiente y la intersección con el eje y de la segunda mediatriz, tenemos:
y=m1x+b1y=m2x+b2
Entonces:
m1x+b1=m2x+b2m1xm2x=b2b1(m1m2)x=b2b1x=b2b1m1m2
Inserta los valores de las pendientes y las intersecciones con el eje y en la ecuación para encontrar la coordenada x del punto de intersección. Después inserta el valor de x en una de las ecuaciones de las mediatrices para encontrar la coordenada y.
¿Dónde se intersecan las mediatrices? (
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
,
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
)

Ahora imagínate calcular esto para cientos de sitios. ¡Por eso usamos las computadoras!

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