La regla del 72 para el interés compuesto

fue en el vídeo pasado en el que introdujimos la idea de interés compuesto pero antes de haber definido interés compuesto lo primero que definimos fue interés por ejemplo si nosotros invertimos 100 pesos en un cierto banco a una tasa de interés del 10% entonces nosotros después de un año vamos a obtener 110 pesos si la tasa de interés es anual ahora bien para entender la idea de interés compuesto lo que hay que pensar es que estos 110 pesos que obtuvimos después del primer año de haber invertido los vamos a volver a invertir un segundo año y después los vamos a volver a invertir un tercer año y así sucesivamente toda la cantidad de dinero que estemos obteniendo en cada año y como el dinero se está reinvirtiendo a una misma tasa de interés eso es lo que se conoce como interés compuesto después yo les hice una pregunta muy interesante la pregunta de la siguiente en cuánto tiempo con una tasa de interés del 10% duplicamos nuestro dinero y para eso resolvimos esta ecuación y llegamos a que x era igual a logaritmo en base 1.1 de 2 y bueno vamos a resolverla primeramente voy el avance 1.1 porque no es muy amigable por lo tanto voy a decir que es lo mismo que el logaritmo en base de 10 dedos y esto es dividido entre logaritmo de 1.1 no entre el logaritmo en base 10 de 1.1 si esto por una propiedad de 2 logaritmos y así ya lo tenemos el logaritmo en base 10 en el logaritmo común y corriente que nosotros conocemos y aunque seamos muy buenos resolviendo logaritmos no creo que sea tan sencillo resolver este logaritmo por lo tanto vamos a sacar la calculadora y con esta herramienta va a ser mucho más sencillo resolverlo entonces 2 logaritmo en base 10 que 0.30 10 ya esto hay que dividirlo entre el logaritmo de 1.1 por lo tanto a 1.1 le sacamos el logaritmo normal y esto nos da 0.04 13 y si hacemos la división en total nos da 7.27 25 47 punto 27 25 vamos a notarlo esto es aproximadamente 7.3 lo redondea para que sea mucho más fácil tener este cálculo porque hoy les voy a enseñar una regla que realmente nos sirve bastante la regla del 72 sólo quiero mencionar que este simbolito que parecen dos olas es el símbolo de aproximado y ya con esto terminamos el ejercicio aproximadamente en 7.3 años vamos a duplicar nuestros 100 pesos a una tasa del 10 por ciento anualmente muy bien pero ya que estamos hablando de aproximaciones vamos a hablar acerca de la regla del 72 nos va a dar una muy buena aproximación a la cantidad de años en los cuales vamos a duplicar nuestro dinero sin tener que utilizar todos estos cálculos sin tener que utilizar logaritmo etcétera etcétera lo que nos va a ayudar la regla de 72 es encontrar una aproximación más cercana por ejemplo fíjense en esto nosotros teníamos en el ejercicio anterior un 10% de interés compuesto anual tenemos un 10% de interés compuesto anual y nos preguntábamos en cuánto tiempo vamos a hacer que nuestro dinero sea el doble y nos salió que aproximadamente eras 7.3 ahora bien con la regla de 72 lo único que hay que hacer es dividir el número 72 entre la cantidad de porcentaje o lo que es lo mismo la tasa de interés compuesto anual y esto nos dará una gran aproximación a la cantidad de años en la cual se duplica nuestro dinero en este caso 72 entre 10 es 7.2 años recuerden que estamos viendo en el caso del que tenemos el 10% de interés compuesto anual y fíjense que no estábamos tan lejos de la realidad nosotros habíamos obtenido con el otro método 7.3 años y aquí la aproximación es de 7.2 años así de fácil y así de sencillo ahora bien si ustedes hace sorprendente esta regla pero todavía no creen que sirva para cualquier porcentaje entonces vamos a cambiar el porcentaje a ver qué es lo que pasa supongamos que tengo el 6% de interés compuesto anual entonces por la regla de 72 yo voy a tener 72 dividido entre la cantidad de porcentaje que es 6 y 72 entre 6 es lo mismo que 12 entonces en 12 años se va a duplicar nuestro dinero si nosotros tenemos una tasa del 6% de interés anual y bueno esto es nosotros utilizamos la regla del 72 es decir si utilizamos esa cierta aproximación y ahora para saber qué tan lejos estamos de la realidad o no vamos a resolver la ecuación correspondiente que nos quedaría el logaritmo en base de diez dedos y ojos siempre es dos porque nosotros queremos duplicar nuestro dinero entre el logaritmo en base 10 de quien pues necesitamos ver cuánto es uno más el porcentaje si cuando teníamos el 10 por ciento era 1.1 cuando tenemos el 6% va a ser un 1.06 y ahora si saquemos la calculadora y el logaritmo de 2 es igual a punto 30 10 dividido entre el logaritmo de 1.06 y esto va a ser igual a 11.89 entonces esto es aproximadamente 11.9 y ya está se dan cuenta no estábamos tan lejos del resultado que me dio al usar la regla de 72 pues darse cuenta que con la regla de 72 obtuvimos 12 años mientras con el cálculo real es de 11.9 años las diferencias mínimas aquí es donde se da cuenta 1 que la aproximación con la regla de 72 es bastante buena y además es muy rápida comparación de todos los cálculos que podemos hacer con los logaritmos y es por eso que me tomé la libertad de hacer las dos gráficas comparando lo que pasa con la regla de 72 y lo que pasa con esta ecuación que tenemos aquí variando los porcentajes y las tasas de interés desde el 1 hasta el 25% ok y vamos a ver que tenemos aquí en la primera columna yo tengo la cantidad de tiempo en la cual se duplica mi inversión inicial utilizando la ecuación de los logaritmos es decir la cantidad de tiempo real en la cual se duplica mi dinero en la segunda columna yo tengo la aproximación utilizando la regla del 72 en la cual se duplica mi dinero y en la tercera columna yo tengo mi taza de interés multiplicada por la cantidad en la cual se duplica y ahora si vamos a ver qué columna corresponde a que grafica la primera columna es la gráfica que está pintada de azul es la gráfica actual vamos a llamarla esta en cuenta empieza a cerca del 4% en el 4% valía 17.67 entonces el 4% vale 17.67 que es más o menos por aquí es este punto que tenemos aquí después puse el 5% que el 5% se dan cuenta es 14.21 14.21 aquí está entonces es este punto de aquí de ese cuenta que son tres años menos y es que no hay que olvidar que estamos hablando de duplicar dinero y es más miren cuando tenemos el uno por ciento de interés compuesto anual nosotros tardamos 70 años casi 70 años en duplicar nuestro dinero y cuando nosotros aumentamos al 2% de interés compuesto anual baja hasta 36 años en duplicar nuestro dinero ahora vamos a ver qué gráfica le corresponde a la segunda columna la segunda columna le voy a ponerte rojo pues es la gráfica que está pintada de rojo y esta corresponde a la aproximación en la que el tiempo que vamos a duplicar nuestro dinero utilizando la regla del 72 y recuerden que esta sale de dividir el 72 entre la cantidad del porcentaje por ejemplo aquí tenemos 72 entre el 4% lo cual nos va a dar 18 18 años en duplicar nuestro dinero mientras que el valor verdadero es de 17 puntos 67 años nada mal después puse las dos gráficas en un mismo plano para que se den cuenta que no están nada lejos la una de la otra si se dan cuenta antes de este punto en la regla de 72 están ligeramente sobreestimada a los valores de la gráfica del valor verdadero mientras que después de este punto la gráfica de la regla de 72 está subestimada ligeramente subestimada de los valores de la gráfica del valor verdadero y bueno tal vez se están preguntando por qué 72 tiene que ser ese número mágico por lo tanto lo que hice en la tercera columna es multiplicar la tasa de interés por la cantidad de tiempo en el cual se duplicaba nuestro dinero y se dan cuenta va desde 69 hasta 77 casi 78 por ciento es por eso que 72 es un buen número porque es un número que está en medio de estas 2 y además para valores de tasa de interés desde el 1 hasta el 25 72 es un buen número y de hecho creo que les va a servir bastante en su vida cotidiana porque al final si algún día invertimos una cierta cantidad de dinero con esta regla podremos saber en cuánto tiempo se va a duplicar nuestra inversión inicial de una manera rápida y sencilla así que vamos a hacer un último ejemplo para que vean lo rápido y sencillo que es si nosotros queremos saber en cuánto tiempo se duplica nuestro dinero con una tasa de interés del 9 por ciento por lo tanto hay que dividir 72 entre 9 lo cual me da una cantidad de tiempo aproximada de 8 años y si comparamos este resultado de ocho años con el resultado del valor verdadero nos vamos a dar cuenta que el resultado del valor verdadero es de 8.04 en 8.04 años se duplica nuestro dinero por lo tanto tenemos una muy buena aproximación