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Contenido principal

Demostración opcional con cálculo de que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente que la demanda

Un poco de cálculo básico para demostrar que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente que la curva de demanda para los monopolios. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

este vídeo está pensado para toda la gente curiosa que se quedó con la duda de por qué la pendiente de la recta del margen de ingresos es el doble a la pendiente de la recta de la demanda no en todos los casos pero estamos suponiendo que la demanda es una recta para que se cumpla esta propiedad ahora bien este es un vídeo opcional y repito opcional no tienes que entender forzosamente todo lo que está explicado en este vídeo voy a usar conocimiento del cálculo y espero que te sirva bueno pues supongamos que esta es la recta de la demanda y recuerden que yo lo que quiero probarles es que la recta del margen de ingresos tiene el doble de pendiente estamos en el plano cartesiano donde comparamos al precio con la cantidad y bueno si estamos comparando el precio con la cantidad y hablamos una recta entonces podemos dar la ecuación de esta recta recordando un poco lo que vieron en geometría analítica una de las formas para escribir una recta era que es igual a mx + b donde m es la pendiente y b era la ordenada al origen aquí no tenemos ni x ni game pero tenemos el precio y tenemos la cantidad por lo tanto voy a escribir la recta como es igual a m m es la pendiente por q mas b a veces le conoce como la ordenada al origen es decir donde cortan mi recta al eje del precio y bueno m recuerden que es la pendiente que por cierto la pendiente está dada en un cambio de p con respecto a un cambio de q es decir la pendiente es lo mismo que el cambio en p dividido entre el cambio en q bueno ahora me voy a tomar el plano cartesiano en donde yo comparaba el ingreso total con la cantidad recuerden que lo hicimos hace tres vídeos en uno de los ejes está el ingreso total y en el otro de los ejes está la cantidad ahora recordando la definición del ingreso total que por cierto es lo mismo que precio por la cantidad voy a escribir el ingreso total con una función de la cantidad lo primero que voy a hacer es sustituir a p recuerden que ya tenemos una función que comparaba a p con q que es la recta que teníamos originalmente por lo tanto sustituyendo a p me va a quedar que es m por q lo que teníamos de la ecuación de la recta que multiplica a su vez a kun y esto es el ingreso total ahora voy a distribuir aquí entonces el ingreso total es igual a m cuadrada + b por q y aquí hay una cosa que hay que notar muy importante recuerden que la pendiente de esta recta es negativa sino recta está decreciendo por lo tanto tiene una pendiente negativa es decir m es menor que cero y eso me está diciendo que entonces si yo quisiera graficar el ingreso total a comparación de la cantidad me va a dar una parábola porque es una ecuación cuadrática pero no es cualquier parábola es una parábola que abre hacia abajo porque m es negativa y además que pasa por el origen porque cuando yo sustituyó a q por cero obtengo que el ingreso total es cero y bueno ha llegado la hora de hablar del margen de ingresos el margen de ingresos lo habíamos definido como la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva del ingreso total es decir desde un punto yo les voy a dar la pendiente de la recta tangente en ese punto sobre mi curva del ingreso total y esto nos lleva al cálculo porque cuando yo hablo de la pendiente la recta tangente realmente de lo que estoy hablando de la derivada del ingreso total con respecto a q es decir la derivada es lo mismo que la pendiente de la recta tangente y derivar esta función de q no es tan difícil para esto hay que recordar algunas propiedades de la derivada primero m es una constante es un numerito por lo tanto cuando yo derivo q cuadrada me da 2 cubo pero 2 q que multiplica m me queda 2 m por q ahora voy a derivar de q sin embargo que también es una constante es un numerito que me están dando y cuando yo derivó una constante porque solamente obtengo en la constante es decir más b y bueno esta derivada es lo que yo había definido como el margen de ingresos el margen de ingresos es esta curva que está aquí o mejor dicho es esta recta que está aquí porque tiene la misma forma que una ecuación lineal tenemos a b tenemos a b es decir esta recta corta al eje del precio en b y tenemos una pendiente de 2 m la pendiente es 12 m a comparación de la otra pendiente que era simplemente m y con esto que les acabo de decir se nota que la pendiente de las rectas del margen de ingresos es el doble a la pendiente de la recta de la demanda es decir su gráfica se va a ver algo así porque recuerden que las dos pendientes son negativas tanto la pendiente de la recta del margen de ingresos como la pendiente de la recta de la demanda de cualquier manera si entendiste esta demostración yo me voy a sentir bastante bien porque acabas de realizar una prueba matemática y si no entendiste nada no te preocupes puedes seguir con tu vida y pueden seguir viendo los vídeos de esta lista pues no volver a utilizar el conocimiento de cálculo