Introducción a los residuos y a la regresión por mínimos cuadrados

digamos que estamos tratando de entender la relación entre la estatura de las personas y su peso lo que hacemos es medir la estatura y el peso de 10 personas y gráfica mos los datos de estatura y peso en este diagrama de dispersión en donde cada punto representa una de las diez personas que medimos por ejemplo este punto representa una persona que tiene una estatura de 60 pulgadas escribimos 60 coma y su peso que tenemos en el eje es de 125 libras así que ponemos 125 y cerramos el paréntesis cuando observamos este diagrama de dispersión nuestra vista reconoce de manera natural una cierta tendencia parece que en general cuando una persona es más alta también tiende a pesar más pero hago énfasis en lo de en general pues definitivamente hay circunstancias en las que personas más altas pueden pesar menos aquí la pregunta que nos hacemos es podemos tratar de ajustar una recta a estos datos a la idea de tratar de ajustar una recta a cerca que se pueda a la mayor cantidad de datos posibles se le conoce como regresión lineal la técnica más común para hacer esto es tratar de ajustar la recta que minimice el cuadrado de la distancia a cada punto de la gráfica y hablaremos de esto en futuros vídeos pero por ahora vamos a tratar de comprender esta idea de forma intuitiva ahora si pusiéramos una línea cualquiera a ojo como por ejemplo esta no pensaríamos que es un buen ajuste pues nos damos cuenta de que no coincide mucho con estos puntos porque la mayor parte de los datos está por arriba de la recta de forma similar si dibujamos una recta como ésta nos damos cuenta de que tampoco se ajusta muy bien que digamos a los datos pues vemos que la mayor parte de los puntos están por debajo de la recta pero si dibujamos una recta como ésta entonces la cosa cambia ya que parece que se acerca lo más que se puede a la mayor cantidad de puntos posibles y parece que está describiendo esta tendencia general así que esta es la recta de regresión real vamos a escribir su ecuación como jenson pero el sombrero quiere decir que tratamos de estimar una y para una x dada no siempre va a ser layer real para una x dada porque como podemos ver no todos los puntos de la gráfica se encuentran sobre la recta de regresión así que ye sombrero es igual a la ordenada al origen que para esta recta de regresión en particular es menos 140 más la pendiente que es 14 entre 3 por equis podemos ver que para la mayoría de estos puntos dado el valor x de estos puntos la estimación que nos da la recta de regresión es diferente al valor real de la coordenada ye la diferencia entre el valor real de la coordenada ye y el valor estimado por la recta de regresión se conoce como residuo por ejemplo el residuo de este punto para una x dada es igual al valor real de la coordenada y menos el valor estimado de dicha coordenada ya que nos la da la recta de regresión para la misma x otra forma de pensar en esto es que para el valor x en particular en este caso 60 el residuo para este punto es el valor real menos el valor 10 sombrero que nos da la recta de regresión para este valor de x pausa en el vídeo y traten de calcular el valor del residuo para este punto visualmente podemos decir que es este segmento de acá para calcular el residuo tomamos el valor real de la ye para esta x en particular que es 125 y le vamos a restar el valor estimado podemos ver esta ecuación y ver cuánto tendría que valer 10 sombrero cuando x es igual a 60 va a ser igual a menos 140 más 14 entre 3 por 60 veamos 60 entre 3 es 20 20 por 14 es 280 y si restamos estos 140 nos da como resultado 140 así que el residuo de este punto es 125 menos 140 que es igual a menos 15 y efectivamente los residuos pueden ser negativos si el residuo es negativo significa que para este valor dado de x el valor real de g del punto se encuentra por debajo del valor estimado si calculamos los residuos de estos puntos de acá arriba veremos que son positivos ya que el valor real de y para sus correspondientes valores de x están por arriba del a de regresión más adelante veremos en el curso de estadística que la forma en que calculamos esta recta de regresión es al minimizar el cuadrado de estos residuos con esto terminamos y nos vemos en el siguiente vídeo