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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es un repaso rápido al crecimiento exponencial y luego usar esto como nuestra plataforma para introducirnos al decaimiento exponencial así que empecemos por repasar el crecimiento exponencial digamos que tenemos una tabla por aquí entonces digamos que esta es nuestra equis y esta es nuestra yema y ahora voy a decir que cuando x es igual a 0 james es igual a 3 y cada vez que aumentamos x en 1 vamos a duplicar el valor anterior así que se va a ir de 3 a 6 si x aumenta en 1 y si x aumenta en una otra vez tenemos x igualados entonces vamos a duplicar de nuevo y me quedaría 6 x 2 lo cual es 2 a esto hasta aquí es un crecimiento exponencial incluso podemos ir con x negativas por ejemplo cuando x es igual a menos 1 estamos yendo uno hacia atrás de x igual a 0 y por lo tanto vamos a dividir entre 2 que esto va a ser que igual a tres medios y noten que si van de menos 1 a 0 de nuevo lo que están haciendo es multiplicar por 2 y todo esto lo pueden escribir con una ecuación pueden decir que james es igual y bueno algunas veces la gente puede llamar esto su intersección en james o su valor inicial que va a ser igual al valor inicial que es 3 que es esencialmente lo que sucede cuando x es igual a cero por una razón común y nuestra razón común es por lo que multiplicamos cada vez que aumentamos x en uno entonces me quedaría y es igual a tres por nuestra razón común que es 2 elevado a la potencia x y puedes verificarlo por ejemplo escoger en algún número para ejes cuando x es igual a 2 va a ser 3 que multiplican a 2 elevado al cuadrado que es 3 por 4 que es igual a 12 y es justo lo que estábamos obteniendo y podemos ver esto en una gráfica así que permite dibujar rápido una gráfica por aquí veamos este va a ser mi eje x este va a ser mi eje y van a estar a una escala ligeramente diferente entonces este es mi eje x y voy a ir de menos 1 a 0 a 1 a 2 y veamos en el eje y bueno hasta arriba tenemos el 12 entonces vamos a ir de 3 en 3 369 y por acá tenemos al 12 y sólo podemos graficar estos puntos en la tabla por ejemplo cuando x es igual a menos uno tenemos que james es igual a tres medios así que estaríamos por aquí cuando x es igual a 0 que sería igual a 3 estaríamos por aquí cuando x es igual a 1 se ha duplicado ahora entonces tenemos 6 y cuando x es igual a 210 igual a 12 y por lo tanto pueden ver esta curva que estoy haciendo ahora hay un par de características claves de las que ya hemos hablado en algunos vídeos si van aumentando los valores negativos en x entonces tendrás como asiento está al eje x es decir nunca vas a llegar al cero sin importar qué valor negativo te tomes aunque sea el más grande que pienses te vas a aproximar pero nunca tocaras el cero y cuando tengas más y más y más valores positivos de x bueno solamente se disparará hasta infinito esto lo hemos hablado en vídeos anteriores y de hecho también hemos dicho que para cualquier función lineal esta gráfica eventualmente la va a pasar va a ser mayor que cualquier función lineal ahora vamos a comparar esto con el decaimiento exponencial y déjame escribir el decaimiento exponencial una manera fácil de plantearlo es que en lugar de crecer cada vez que estemos aumentando a x lo que vamos a hacer es disminuir una cierta cantidad va a decaer así que vamos a hacer otra tabla aquí con valores de x de 10 tenemos por aquí a x tenemos por aquí hay y entonces vamos a empezar voy a decir que cuando x es igual a 0 que va a valer lo mismo lleva a valer 3 pero esta vez en lugar de duplicar cada vez que aumentemos x en 1 lo que vamos a hacer es dividir por 2 o multiplicar por un medio entonces cada vez que aumentamos x en 1 cuando tenemos aquí es igual a 1 voy a multiplicar por un medio y vamos a llegar a tres medios y cuando x es igual a 2 voy a multiplicar por un medio otra vez y entonces voy a llegar a tres cuartos y así sucesivamente y si tuviéramos que ir con valores negativos entonces pensemos qué pasa cuando x vale menos uno bien si vamos hacia atrás en x por uno lo que vamos a hacer es dividir ahora entre un medio y entonces llegaríamos a seis oyendo desde menos uno a cero aumentaríamos x en uno y de nuevo estaríamos multiplicando por un medio entonces como escribiríamos esto como una ecuación bueno pues te invito a que pausa es el vídeo y veas si puedes escribirlo en una forma similar bien va a verse algo así james va a ser igual y primero recuerda vamos a poner la intersección en yemen o dicho de otra manera el valor de que cuando x es igual a 0 que en este caso de nuevo es 3 y ahora hay que multiplicarlo por la razón común que en este caso es un medio observan estamos multiplicando por un medio entonces me quedaría un médium ya esto lo vamos a elevar a la potencia x y observa ambas ecuaciones tanto la primera como la segunda son ecuaciones exponenciales podrán decir que tenemos la intersección en james o un valor inicial exactamente igual y estamos multiplicando por alguna razón común elevada a la potencia x pero noten cuando estamos creciendo tenemos que nuestra razón común o más bien el valor absoluto de la razón común va a ser mayor que 1 entonces el valor absoluto en este caso de 2 es mayor que 1 en nuestra primera exponencial y por lo tanto nuestra función está creciendo y en el caso en el que está disminuyendo el valor absoluto de la razón común debe de ser menor que 1 y esto tiene sentido ya que si multiplicas algo con el valor absoluto menor que 1 no sé como un medio en este caso o como tres cuartos o como un 0.9 cada vez que multiplique es por ese valor vas a obtener un valor más bajo y más bajo y más bajo en tu función en realidad puedes ver esto en la gráfica vamos a hacer la gráfica si pongo esta información en la misma gráfica me voy a obtener que cuando x es igual a menos 1 llévales 6 cuando x es igual a 0 otra vez estoy en de igual a tres cuando x vale uno que vale tres medios y cuando x vale dos que vale tres cuartos y así sucesivamente y noten que ya que nuestras razones comunes son recíprocas entre sí entonces estas dos gráficas se ven como si estuvieran volteadas la una a la otra de manera horizontal volteada sobre el eje y es decir son simétricas alrededor del eje y y lo que verán en decaimiento exponencial es que las cosas serán más más en más pequeñas pero nunca llegarán a hacer exactamente igual a cero se van a aproximar a cero eso sí pero tendrán como asiento está el eje x y eso cuando se vuelvan más y más y más positivas como pasaba en el crecimiento exponencial cuando x se volvía más y más y más negativa es decir son a sin todas al eje x y bueno toda este era una introducción un vídeo de introducción en el que he usado un ejemplo muy específico pero en general si tienen la ecuación de la forma de igual por alguna razón común o r a la potencia x esto va a ser un crecimiento exponencial si el valor absoluto de r es mayor que 1 en este caso estaríamos tratando con crecimiento exponencial crecimiento y esto recuerda es porque cada vez que aumentes x estaríamos multiplicando por más y más y más eres que son mayores que 1 ahora si el valor absoluto de r es menor que 1 entonces estamos tratando con un decaimiento con un decaimiento exponencial y esto es porque se reducirá nuestra función cuando x aumenta y bueno dejaré que piensen un poco en qué sucederá cuando eres igual a 1 con que estamos tratando en esta situación y bueno es una pregunta capciosa ya que pero bueno de hecho les contaré si eres igual a 1 entonces r elevado a la equis siempre va a ser igual a 1 entonces todo esto se reduciría a la ecuación de igual a amd la cual es la ecuación de una recta constante de una recta horizontal