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1° Secundaria
Curso: 1° Secundaria > Unidad 5
Lección 5: Ecuaciones de dos pasos e introducción a las ecuaciones de varios pasos- Lo mismo a ambos lados de las ecuaciones
- Introducción a las ecuaciones de dos pasos
- Ecuaciones de dos pasos de forma intuitiva
- Ejemplo resuelto: ecuaciones de dos pasos
- Repaso de ecuaciones de dos pasos
- Ecuaciones de dos pasos
- Introducción a las ecuaciones con variables en ambos lados
- Ecuaciones con variables en ambos lados: 20-7x=6x-6
- Ecuaciones con variables en ambos lados
- Razonar con ecuaciones lineales
- Razonar con ecuaciones lineales
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Razonar con ecuaciones lineales
Cuando resolvemos operaciones para manipular ecuaciones, algunas operaciones producen ecuaciones equivalentes, mientras que otras no necesariamente producen ecuaciones equivalentes. Cuando resolvemos una ecuación, necesitamos usar operaciones que garanticen la equivalencia. Creado por Sal Khan.
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- Lo que se hace durante todo el video es "simplificar" la expresión matemática (simplificar es un proceso en donde la expresión matemática se hace más "pequeña" o "sencilla" con la intención de que sea más fácil de entender) para poder hallar el valor de nuestra variable "x", que es lo mismo que se ha venido haciendo en otros videos del tema.
La diferencia es que en este se habla de "equivalencia", que sería lo mismo que decir "son iguales", y esto es una característica de las ecuaciones lineales.
Ej:
-f+2+4f = 8-3f
2+3f = 8-3f
(+3f)+2+3f = 8-3f+(+3f)
2+6f = 8
(-2)+2+6f = 8+ (-2)
6f = 6
f = 6/6
f= 1
Verás que en el ejemplo tenemos dos ecuaciones separadas por el simbolo de igual (=), en donde al trabajar con una de ellas afectas la otra de igual forma, esto es necesario ya que si no se realiza así, no tendrás tu resultado deseado. Ahora si quieres comprobar que f=1 en cualquier paso de la simplificación solo sustituyelo:
1.-
-f+2+4f = 8-3f
-(1)+2+4(1) = 8-3(1)
6-1 = 8-3
5 = 5
2.-
2+6f = 8
2+6(1) = 8
2+6 = 8
8 = 8
3.-
6f = 6
6(1) = 6
6 = 6
Si se cumple esta característica, donde no importa en que parte de la simplificación sustituyas tu variable puedes obtener siempre el mismo resultado, se habla entonces de "equivalencia", todas las expresiones matemáticas de tu simplificación son equivalentes entre ellas.
NOTA: Si por alguna razón durante la comprobación descubres que los resultados son diferentes. Ej.
6f = 6
6(3) = 6
18 = 6 (Esto es incorrecto)
18 ≠ 6
Quiere decir, entonces, que durante la simplificación se cometió un error que nos dio un resultado incorrecto.
Espero haya sido de ayuda, aunque si me equivoco digan lo.(5 votos)
- Es más facil despejar pasando los términos de un lado al otro del signo igual .(6 votos)
- Esta clara la explicación pero seria bueno mas ejemplos o casos.(2 votos)
Transcripción del video
En varios videos hemos trabajado con ecuaciones
como esta y hemos intentado resolver para x. Lo que vamos a hacer en este video es profundizar
un poco nuestra comprensión sobre lo que sucede en ellas y pensar, sobre todo, en la noción de
equivalencia o de enunciados equivalentes. Pero, ¿a qué nos referimos con equivalencia? Bueno,
vamos a utilizar esta ecuación que tenemos aquí para reescribirla de varias formas equivalentes y
hablaremos un poco más sobre lo que eso significa. Una cosa que podemos hacer para escribir
un enunciado con la misma equivalencia es distribuir este 3 en x + 1 y, por lo tanto, esta
parte se puede reescribir como: 3 x + 3 y después tenemos -x = 9. Bien, lo que podría ser obvio de
alguna forma es que la ecuación de arriba y la segunda ecuación son equivalentes. ¿Qué significa
eso? Significa que si una de ellas es verdadera para una x dada, la otra también será
verdadera para la misma x y viceversa. Y podemos escribir otros enunciados equivalentes. Por
ejemplo, si combinamos los términos con x, es decir, si reducimos 3 x con -x, podemos
reescribirlos como 2x y además tenemos + 3 = 9. Ahora, los tres enunciados son equivalentes:
si existe una x que cumple que 2x + 3 = 9, entonces también es la misma x que cumple que 3 (x
+ 1) - x = 9 y viceversa: si existe una x que haga verdadera la ecuación de arriba, entonces la misma
x hará verdadera la última ecuación. Y como ya hemos visto antes, podemos hacer otras operaciones
que preserven la equivalencia. Podemos restar 3 de ambos lados, en general si sumas o restas
el mismo valor de ambos lados de la ecuación, la equivalencia se preserva; si distribuimos
un valor como lo hicimos en el primer paso, la equivalencia se preserva; si combinamos
términos semejantes, la equivalencia se preserva. Y por acá haremos una operación que
preserve la equivalencia: vamos a restar 3 de ambos lados de la ecuación y obtenemos 2x
= 6. Una vez más: cualquier x que satisfaga esta última ecuación también va a satisfacer
cualquiera de las otras ecuaciones y viceversa, cualquier x que satisfaga cualquiera de estas
ecuaciones también va a satisfacer la última, son equivalentes entre ellas. Ahora, otra
operación que preserva la equivalencia es multiplicar o dividir por una constante distinta
de 0. Por aquí podemos dividir ambos lados por 2, 2 es distinto de 0 y es una constante, y si
hacemos eso tendremos otro enunciado equivalente: x = 3, así que cualquier x que satisfaga esto, que
sólo es x = 3, va a satisfacer todas las demás, y cualquier x que satisfaga todas las demás también
va a satisfacer la última. Entonces, todas estas son equivalentes. Así que una forma de pensar en
esto es que, sumar o restar el mismo número de ambos lados de la ecuación, multiplicar o dividir
de ambos lados por una constante distinta de 0, distribuir como hicimos en el primer paso o
combinar y reducir términos semejantes, preserva la equivalencia. Ahora, seguro te preguntas ¿qué
operaciones no preservan la equivalencia? Bueno, imagina algo así, empecemos con algo bastante
obvio: si digo que x = 2 y pensamos en una operación que no preserva la equivalencia,
sería sumar o restar o multiplicar o dividir por un valor sólo en un lado de la ecuación.
Imagina que sólo sumamos 1 del lado izquierdo, entonces tenemos que x + 1 = 2. Y en este caso,
lo que satisface esta ecuación no satisface también la ecuación de arriba ni viceversa: x =
2 claramente satisface la ecuación de arriba pero no satisface la segunda. La razón es que hicimos
una operación que no preserva la equivalencia. De la misma forma, si sólo multiplico por 3 el lado
derecho de la ecuación, obtendré x = 6; bueno, al multiplicar por un valor sólo el lado derecho
lo que satisfaga x = 6 no va a satisfacer x = 2, esto es algo obvio. Ahora, también hay otros
escenarios un poco más intrincados. Digamos que tenemos la ecuación 5x = 6x. Bueno, podemos
estar tentados a querer hacer lo mismo de ambos lados de la ecuación y dividir ambos lados
entre x. ¿Qué pasaría en ese escenario? Bueno, si dividimos a ambos lados entre x podemos
pensar que un enunciado equivalente sería 5 = 6, y ya sabemos que no existe ninguna x para la cual
5 sea igual a 6, no podemos hacer 5 = 6 o 6 = 5, ¿cierto? Si suponemos que estos son enunciados
equivalentes y decimos que no existe ninguna x que satisfaga la segunda ecuación, 5 = 6, entonces
tal vez no exista ninguna x que satisfaga la ecuación de arriba. Pero esta no es una operación
que preserva la equivalencia, porque, de hecho, estamos trabajando en un escenario donde x = 0
y estaríamos dividiendo entre 0, así que debemos tener mucho cuidado cuando dividimos entre
una variable, especialmente si el valor de la variable que hace verdadera una ecuación es 0.
Entonces, para ser claros, si queremos preservar la equivalencia por aquí, la forma de resolver
esta ecuación es restar 5x de ambos lados, como sabemos esta es una operación que preserva
la equivalencia: restamos esta expresión de ambos lados y nos quedaremos con que 0 = x. Y ahora,
x = 0 y 5x = 6x son enunciados equivalentes, son ecuaciones equivalentes: cualquier x que haga esto
verdadero hará también esto verdadero, y cualquier x que haga verdadera la ecuación de arriba también
hará verdadera la ecuación de abajo. Por último, tal vez me escuchaste decir que si multiplicamos
o dividimos por una constante distinta de 0, entonces se preserva la equivalencia, y espero
que ya tengas una idea de por qué no es buena idea dividir entre 0, de hecho el resultado de
dividir entre 0 siempre será una cosa extraña y es indefinido, pero también lo es multiplicar por
0. Por ejemplo, si tenemos... empecemos por aquí: 2x = 6 y multiplico ambos lados por 0, obtenemos
que 0 = 0 y 0 = 0 es verdadero para toda x 0 siempre va a ser igual a 0, pero el problema es
que el primer enunciado no es verdadero para toda x, sólo es cierto para x = 3, así que estos no
son enunciados equivalentes, tienen un conjunto distinto de x que los satisfacen. Por lo tanto,
debes tener mucho cuidado cuando trabajes con cosas que son 0, podemos sumar o restar 0, aunque
obviamente eso no va a cambiar mucho las cosas, pero si multiplicamos de ambos lados por
0 tendremos enunciados no equivalentes, y multiplicar o dividir por variables que
podrían ser 0 también es un juego peligroso.