Introducción a las curvas

¿Alguna vez has estado en clase, empiezas a  aburrirte un poco y entonces comienzas a soñar   despierto? Y de repente tu mano parece tomar vida  propia, y empiezas a dibujar algo en la esquina de   una de las páginas del libro de texto. Seguramente  dibujarás algo más bonito que esto, pero lo que   dibujé por aquí es lo que se conoce en matemáticas  como una curva. Así que, ¿qué es una curva?   Casi todo lo que dibujes en una hoja de papel,  cuando empiezas en un punto, haces algo y paras,   esto es una curva; si hago esto, estoy haciendo  una curva, casi todo lo que hagas. Entonces,   ¿qué no es una curva? Si dibujamos un círculo,  ¿dibujamos una curva? Sí, empezamos en un punto,   seguimos y paramos, lo que puedes darte cuenta  por aquí es que en todos estos casos no hemos   levantado la mano del papel, podemos empezar y  hacer todo el trazo, todas estas son curvas. Pero,   imagina que queremos hacer una carita y agregamos  los ojos, ¿qué hemos hecho? Primero hicimos esto   y ahora tenemos estos huecos, y podemos ver  que no podemos hacer esta primera parte del   dibujo y después hacer los ojos sin despegar la  mano del papel, así que déjame marcarlo: este   hueco que tenemos aquí también se le conoce  como discontinuidad, pero puedes llamarlo hueco.   Por lo tanto, si existe un hueco, entonces  no es una curva, no es una curva. Es decir,   si queremos construir una curva, entonces debe ser  lo que llamamos continua. Tal vez si hago esto y   los conecto con unas gafas, si los conecto de esta  forma, entonces lo que obtenemos sí es una curva,   pero si tenemos estos huecos entonces no es una  curva. Ahora, ¿qué tal si dibujamos una recta?   Si te pregunto si es una curva, ¿cuál sería  tu respuesta? Piensa en esa pregunta. En el   lenguaje cotidiano podemos decir que un camino  es recto o es curvo, pero en matemáticas fíjate   en lo que decimos: si empezamos en un cierto  lugar y vamos hacia otro y paramos, mientras   sepamos que no hay huecos en lo que dibujamos,  entonces será una curva. Entonces, ¿es una línea   recta una curva? Sí, lo es, a pesar de que, en un  lenguaje cotidiano, no le llamamos curva. Podemos   ver que en matemáticas algunas palabras tienen  significados diferentes a los que normalmente   tienen en el lenguaje cotidiano. Entonces,  si esto es una curva, una línea es una curva,   entonces piensa en lo siguiente: si dibujamos  una línea de esta forma y después de esta forma,   ¿es una curva? Estoy dibujando los extremos muy  grandes pero podremos dibujarla así, entonces   ¿esta es una curva?, ¿esta es una curva?, o tal  vez podemos dibujarla así, ¿esto es una curva?   Sí, lo es: empezamos en un lugar y no tenemos  huecos entre las líneas que dibujamos. Incluso,   podemos dibujar algo más grande, algo como esto:  una cometa; esta también es una curva. Es decir,   cuando se usa la palabra curva, algunas personas  piensan que el trazo debe de ser curvo y que nunca   podría ser una línea recta, de hecho, dicen que no  debes usar una regla; pero no es así, usa lo que   quieras pero asegúrate de que los elementos estén  conectados, o que sea un trazo continuo. Ahora que   sabemos qué es una curva, tal vez podemos jugar  con esta idea. Te mostraré esta pantalla donde   tenemos algunas curvas a la izquierda y otras a la  derecha. Puedes tomarte un minuto, pausar el video   y considerar si hay alguna diferencia entre estos  dos grupos, de ser así ¿cuál es esa diferencia?   Bueno, si lo pensamos bien puedes notar que en  todas estas curvas a la izquierda no se presenta   lo que llamamos un cruce. Por ejemplo, al dibujar  esta curva hacemos este trazo, vamos por aquí y   cruzamos la curva en este punto, y podemos ver  que esto no ocurre en ninguna de estas curvas.   Justo por acá puedes ver otro cruce. En esta otra,  ¿dónde tenemos el cruce? Bueno, está justo aquí;   y por acá en esta otra curva también tenemos un  cruce. Ahora, en este otro lado, sin importar   dónde dibujamos o lo que dibujamos, no tenemos  cruces. Por lo tanto, debemos mencionar que   todas las curvas que no tienen cruces, es decir,  que no se cruzan, las llamaremos curvas simples,   no se cruzan a sí mismas; mientras que las curvas  que sí se cruzan a sí mismas, es decir, que tienen   cruces, las llamaremos curvas no simples. Tal vez  existe un nombre más formal para estas curvas,   pero esta idea debería funcionar. Ahora, ¿qué  pasa con estos dos últimos diagramas de por aquí?   Podemos observarlos y ver que para dibujarlos  no tuvimos que cruzar la curva; por ejemplo,   por acá hicimos este trazo, después bajamos y  llegamos hasta acá. Entonces, aunque usamos la   palabra cruce, tenemos una mejor forma de definir  lo mismo. ¿Qué es esto de las curvas no simples   que deberíamos de saber? Primero, observemos  las curvas simples. La idea es que cada vez que   elegimos un punto por aquí, por ejemplo, podemos  elegir un punto por aquí, o podemos elegir este   otro punto, si vemos dentro de esta selección  podemos ver que existen sólo dos líneas que   salen de ese punto; si elegimos este otro punto,  podemos ver que existen sólo dos líneas que salen   de este otro punto, incluso en un punto medio.  Cada vez que elegimos un punto en estas curvas   de la izquierda, tenemos sólo dos líneas que  salen de él. De hecho, podrías preguntarte:   ¿la curva no se cruza a sí misma en cierta forma?  Porque empezamos por aquí, hacemos todo el trazo y   regresamos al mismo punto de partida. Y observa:  pasa en todos estos casos. Bueno, incluso cuando   pasa esto, se sigue llamando curva simple. Pero  si podemos dibujar un círculo dentro del cual   existan tres o más líneas que salen de ese punto,  entonces hablamos de una curva no simple. Espero   que entiendas esta diferencia. Si observamos este  punto que seleccionamos, ¿cuántas líneas salen de   él? Tenemos una, dos, tres, cuatro, por acá una,  dos, tres, cuatro; incluso aunque no sean cuatro,   pueden ser sólo tres, con eso es suficiente.  Por ejemplo, por acá, podemos ver que son tres:   con esto es suficiente para que la curva sea  no simple. Recuerdo que cuando estaba en la   escuela tenía una curva favorita que solía  dibujar en mis libros, mi curva es esta,   me encantaba dibujar lo que se conoce como una  espiral, y siempre es muy divertida de dibujar,   especialmente porque es un poco difícil mantener  la misma distancia entre los trazos. Y la razón   por la cual me encanta dibujarla es porque una  vez que acabamos de dibujar, podemos verla y   parece que está rotando, no sé por qué pasa esto  pero parece que está rotando cuando realmente no   lo hace. Ahora, la pregunta que te tengo es:  ¿dibujamos una curva?, ¿esto es una curva?,   ¿tenemos o no huecos?, además, si es una curva ¿es  simple o es no simple? Piensa en estas preguntas.