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Factorizar sumas de cubos

Sal factoriza 27x^6+125 como (3x^2+5)(9x^4-15x^2+25) mediante una forma especial de producto para suma de cubos. Creado por Sal Khan y Monterey Institute for Technology and Education.

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Transcripción del video

factorizar 27 x a la sexta más 125 este problema está muy interesante sobre todo porque es muy difícil de atacar a menos que los reconozca como una forma especial entonces lo que quiero ver en este vídeo es cuál es esa forma especial de la cual estoy hablando y luego quiero copiar el patrón que encontremos para aplicarlo en este problema entonces déjame empezar haciendo esta multiplicación la de cuadrada menos ave más be cuadrada con a más b es muy útil que sepas esto quizás no en tu vida diaria pero al menos si para cuando tengas que resolver problemas como este de aquí va entonces vamos a hacer esta multiplicación empezamos multiplicando esta vez con este trinomio entonces b por b cuadrada es más b cúbica luego ve por menos sabe es menos ave cuadrada y ve por a cuadrada es cuadrada me sale vamos con la que voy a poner en color naranja cuadrada es más ave cuadrada luego a por menos ave es menos a cuadrada ve menos a cuadrada ve y aporta cuadrada es adjudicar vamos a sumar para ver qué nos queda los términos de la forma cuadrada vez desaparecen porque aquí tenemos este con más y este con menos estos también se cancelan dos ave cuadrada que está menos ave cuadrada y aquí más ave cuadrada y entonces lo único que nos queda es este cubo adjudica más estévez cúbica más b kubica entonces este producto de kubica mashreq ubica o bien otra forma de escribirlo es que si tenemos una suma de cubos al cubo más b al cubo entonces la podemos factorizar como la suma de los números a más ve multiplicada por a cuadrada menos ave más b cuadrada de esto es un truco caso verdad entonces suma de cubos es igual a la suma de los números multiplicada por otras cosas muy bien entonces vamos a ver cómo aplica a este patrón en el problema entonces para poder aplicarlo tendríamos que ver que en efecto tenemos una suma de cubos y yo digo yo digo que si yo digo que estoy aquí es una suma de cubos porque ve este 27 x a la sexta 27 si es el cubo de 3 verdad entonces voy a ponerlo así como 3 y x a la sexta es el cubo de x al cuadrado entonces este primer término es 3 x al cuadrado al cubo y qué pasa con el 25 con el 125 pues el 125 es 5 al cubo quizás debería explicar este paso un poco mejor para que quede muy claro 3 x al cuadrado al cubo que sería sería 3 x al cuadrado por 3 x al cuadrado por 3 x al cuadrado pero esto es lo mismo que 3 x 3 x 3 x x al cuadrado por x al cuadrado por x al cuadrado 3 x 3 9 por 3 es 27 27 y aquí los exponentes se suman dos más dos más dos es 6 entonces nos queda x a la sexta o bien otra forma de pensarlo es que 3 x al cuadrado al cubo es 3 al cubo que es 27 x x al cuadrado al cubo los exponentes se multiplican y 2 x 3 sí bueno entonces en efecto tenemos que esto ya que es una suma de cubos y vamos a aplicar esta regla está tomando que 13 x al cuadrado esta parte de acá es y este es el 5 nada más el 5 sin el cubo es b entonces vamos a ver que nos queda la factorización nos queda igual y lo voy a poner en color rosa queda igual entonces es a b sería 3 x al cuadrado 3 x al cuadrado más 5 + 5 y eso tenemos que multiplicarlo por x a cuadrada a cuadrada voy a hacer eso por separado 3 por x al cuadrado al cuadrado esto sería 3 al cuadrado es 9 x al cuadrado al cuadrado es x a la cuarta entonces aquí sería 9 x a la cuarta menos a por ve menos 3 x al cuadrado por b que es 5 b que es 5 más cuadrada más 5 al cuadrado que es 25 25 muy bien ya nada más déjame simplificar un poquito estuve aquí es igual y lo voy a dejar todo en color verde 3 x al cuadrado más 5 x 9 x a la cuarta menos 15 x cuadrada + 25 muy bien entonces aquí ya tenemos nuestra factorización y este segundo lado ahorita no nos vamos a meter mucho con eso pero si estamos en los números reales entonces ya no se puede factorizar más vale entonces esto ya es la factorización de la suma de cubos que queríamos finalmente es un caso muy especial es algo muy particular pero básicamente consiste en reconocer que tenemos una suma de cubos