Ejemplo resuelto: el dominio de las funciones algebraicas

hagamos más ejemplos de cómo hallar el dominio de una función digamos que tenemos la función por ejemplo gx igual a 1 dividido entre la raíz cuadrada de 6 menos el valor absoluto de x muy bien esta es nuestra función g y te invito a que por tu propia cuenta trates de descubrir cuál es el dominio de esta función verdad es decir el conjunto de valores de entrada x donde esta función está definida muy bien y ahora vamos a hacerlo por nuestra propia digamos vamos a hacerlo juntos más bien por ejemplo una forma equivalente de decir cuál es el dominio de esta función es determinar donde no está definida la función verdad por ejemplo si el denominador de esta expresión es igual a 0 no está definida verdad no podemos dividir ningún número entre 0 o bien por ejemplo si lo que está dentro de esta raíz cuadrada es negativa verdad porque no podemos sacar raíz es cuadradas de números negativos así que por ejemplo en realidad tendríamos que esto que tenemos dentro de la raíz no está definido si es cero o si es negativo negativo verdad es otra forma de pensar el dominio de la función entonces g está definida está definida si solos y que de hecho lo podemos escribir así como ese con doble y esto representa sí solos y sí solos y 6 - el valor absoluto de x es estrictamente mayor que 0 verdad no puede ser 0 porque estaríamos dividiendo entre 0 pero tampoco puede ser negativo porque está dentro de una raíz así que esto que como podríamos expresar esto por ejemplo si sumamos de ambos lados el valor absoluto de x verdad ambos lados de esta desigualdad bueno del lado izquierdo se cancelan y sólo nos queda 6 mayor que el valor absoluto de x o si lo vemos al revés tendríamos valor absoluto de x menor que 6 y esto es exactamente equivalente a que x sea más chico que 6 pero más grande que menos 6 verdad si la magnitud de x es menor que 6 es lo que tenemos aquí es lo mismo que si x se encuentra entre menos y 6 muy bien entonces aquí tenemos de forma digamos no tan clara definida el dominio definido el dominio de de la función g verdad podríamos incluso escribirlo de esta forma que el dominio es el conjunto de x que son números reales verdad son elementos del conjunto de números reales tales que x se encuentra entre menos 6 y 6 verdad es mayor que menos 6 y menor que 6 ok ahora hagamos otro ejemplo que sea un poco más peliagudo veamos vamos a construir la siguiente función digamos ahora vamos a llamarle hdx vamos a considerar hdx una función que esté definida por partes digamos que la primera parte sea algo así como x + 10 / / x + 10 que multiplica a x menos 9 que multiplica a x menos 5 digamos y que esto esté definido para x distintos de 5 muy bien y digamos que cuando x valga 5 toma el valor de pi ok entonces te invitó nuevamente a que hagas una pausa y que pienses cuál es el dominio de esta función y entonces vamos a hacerlo todos juntos digamos en realidad el único detalle es cuando en la parte de arriba tenemos que dividir en 3 entre 0 verdad es decir cuando esta expresión de abajo toma el valor 0 entonces podríamos incluso escribirlo así para cuando vamos a tratar de descubrir cuando estamos dividiendo entre 0 digamos y hay que escribir así en la parte de arriba en la parte de arriba porque en la parte de abajo no hay ningún problema verdad solo tomo un valor constante entonces cuando dividimos entre 0 sería cuando x es igual a por ejemplo cuando es igual a an a 9 por ejemplo si nos fijamos en esta parte cuando x es igual a 9 estaríamos dividiendo entre 0 también estaríamos dividiendo en 30 cuando x tome el valor de menos 10 verdad x igual a menos 10 hace que por este factor dividamos entre 0 o bien uno podría pensar que también cuando x es igual a 5 estaríamos dividiendo entre 0 sin embargo hay que considerar esto estamos solo en la parte de arriba y para qué valores está definida la parte de arriba justamente cuando x es distinto de 5 es decir este no es un caso en el que podamos contar porque cuando x es 5 toma otro valor entonces este no es ningún problema para la parte de arriba muy bien entonces solo estos valores tendríamos sólo estos dos valores nos causarían problemas en la parte de arriba ahora ya casi acabamos verdad pero a lo mejor alguno de ustedes verán por ejemplo que no podríamos cancelar este factor oops creo que lo dejé negro que no podríamos cancelar este factor con este otro para simplificarlo y casi tendría razón sin embargo sería una función distinta verdad porque si tú cancelas el factor x más 10 tanto arriba como abajo estarías quitando el problema de x igual a menos 10 verdad esta función no está definida en x igual a menos 10 pero si lo cancelas si estaría definida en x igual a menos 10 así que esencialmente tendrías una función distinta que ahora sí estaría definida en x igual a menos 10 así que en resumen lo que tenemos es que el dominio de esta función lo podemos escribir como el conjunto de números reales números reales tales que x no es 9 y x no es menos 10 verdad fuera de estos valores la función si está definida por ejemplo cuando vale 5 cuando x es igual a 5 es más podríamos escribirlo cuando x es igual a 5 al evaluar h en 5 tenemos el valor de pi incluso si en la parte de arriba no está definido pero no hay problema porque ahí no estamos considerando esta regla estamos considerando la de abajo