Desarrollo binomial y combinatoria (anterior)

en este vídeo voy a hablar acerca de la intuición que está detrás de la multiplicación de binomios los coeficientes binomial es y la combinatoria para hacerlo utilizaré muchos colores pero esta vez no serán arbitrarios lo que quiero intentar es compartir contigo la intuición que está alrededor de esto así que vamos a hacer a + b al cubo así que a ver vamos a empezar a escribir a más de esto sería además ve y déjame cambiar color que está x a más b y ahora voy a seleccionar un color apropiado y qué tal el azul y veamos entonces sería x a más b ahora voy a aplicar la propiedad distributiva e iré desarrollando esto entonces esto sería igual a que multiplica tengo que cambiar colores a a más b esto tiene que estar en verde déjame revisar si tengo el que es el adecuado si entonces es a más b no es un poco tedioso esto pero la verdad valdrá la pena habrá que tener paciencia + b que está multiplicando a a más p y todo esto multiplicado otra vez por a más ve en azul así que vamos a empezar a desarrollar esta parte interna y entonces aquí tengo a a amarilla que multiplica a la a verde más bueno el más podría tener cualquier color pero este está bueno entonces es a amarilla que multiplica al ave verde y eso es lo que tenemos de la primera parte más tengo ve en amarillo que está multiplicando aa + b porque claro tienen diferente color para que veamos de dónde viene cada uno y todo esto está siendo multiplicado por a otra vez utilizaremos la propiedad distributiva para multiplicar todo esto que está aquí es un poco tedioso pero vas a ver que al final vale la pena hacerlo así que ahora tendremos a azul que es la que está aquí bueno primero tengo la amarilla por a en otro color para que veamos que es diferente por el azul nuestro siguiente término será multiplicar más la a primero que tengo por la ave por la azul que está aquí luego tenemos que está sumado que sería ven amarillo en verde por la a en azul que está aquí afuera que lo estamos distribuyendo y después tendríamos b en amarillo que está multiplicando al ave verde y ahora ponemos la a azul habrá que tener un poco de paciencia pero bueno va a valer la pena ahora vamos a distribuir la clave azul en todos los términos así que tendremos la a amarilla baja la que está aquí por la a verde x la vea azul sí ya sé que esto está un poco tedioso pero bueno continuemos más la a amarilla que multiplica al ave verde que está siendo multiplicado ahora por la ave azul luego vamos a poner este término que sería entonces poner más be amarilla por haberte si la verde x la ve azul y el siguiente término sería sumar be amarilla verde por la ve azul y lo que tenemos aquí es la expansión de más ve al cubo bueno no lo he simplificado todavía pero lo estoy haciendo a propósito quiero que observemos con mucho cuidado qué es lo que tenemos son el producto de tres números cada término está hecho por tres números y cada uno de un diferente color observemos el término en amarillo viene de este primer término que está aquí luego el verde es el que está aquí en medio mira es éste además ve que está aquí en medio y después del último término desde a más ve en azul es de donde salen los que se distribuyeron en azul pero quiero que observemos esto con más cuidado mira vamos a ver como cada término está conformado por ir tomando de cada uno de los grupos ya sea la clave o sea de este grupo yo pude haber tomado la clave y la fui distribuyendo y lo mismo ocurre con los demás grupos vamos a ver con cuidado como en cada uno de ellos o sea en la expansión d ve al cubo yo fui seleccionando la a olave y la fue distribuyendo en cada uno de los términos es decir la expansión que obtuvimos si todos estos términos que están aquí de la expansión los obtuvimos seleccionando de tres grupos los dos objetos que tenían si mira observa de estos tres grupos tenemos en cada uno dos objetos y los fuimos seleccionando y obtuvimos veamos 1 2 3 4 5 6 7 8 8 términos y yo creo que en este momento es un buen punto para reflexionar la relación con las permutaciones y las combinaciones en especial con estas últimas y ahora vamos a simplificar esto por lo que este que está aquí este es a al cubo y es el único término que es al cubo veamos este de acá es a cuadrada de cuántos a cuadrada tenemos mira éste ve a cuadrada pero pues también es al cuadrado voy a marcarlos con otro color de manera que podamos identificarlos entonces este será a cuadrada ve este que está aquí ya lo habíamos dicho éste también es cuadrada ve a ver este que está aquí justo este otro es cuadrada ve y entonces observamos que tenemos tres y bueno usted lo que ya esperábamos eso ya lo sabíamos el coeficiente del segundo término sabemos que es tres a cuadrada b veámoslo con más calma este término a cuadrada que tiene un coeficiente 3 pues ya lo conocíamos pero vamos a analizar con más cuidado de dónde sale el 3 o sea de dónde sale este 3 que está aquí será que tiene que ver otra vez con el teorema del binomio y con las combinaciones digamos de tres elementos tomados de dos en dos cuadrada al ave y veamos de dónde salió o sea tenemos tres grupos en los que estuvimos seleccionando un cada uno de sus términos y de estos tres grupos de cuántas maneras puedo seleccionar dos as para obtener la cuadrada y que esté x b es decir cuántas combinaciones puedo hacer con estos tres términos y ese es el punto las combinaciones de hamás b en las cuales pueda yo tomar dos as y una b o sea para obtener a cuadrada tengo que escoger la dos veces pero las tengo tres posibles o sea estas dos las tuve que haber escogido de las tres posibles que están aquí y es de donde sale el concepto que de tres tomó dos las combinaciones de tres tomadas de dos en dos para el término a cuadrada b pero ahora veamos el otro término o sea el que es a b cuadrada y hagamos un análisis similar o sea cuántas formas tengo una de entre estos términos o sea que sería el equivalente a pensarlo las combinaciones de tres tomado en uno de ave cuadrada sería exactamente los mismo pensarlo como si fueran digamos de estos tres términos escoger dos veces para obtener la ave cuadrada que sería entonces las combinaciones de tres elementos tomados en dos de ave cuadrada y ambas combinaciones me dan tres que era lo que esperábamos hay una simetría en este proceso lo que hemos hecho hasta ahora nos da la intuición necesaria ahora vamos a hacer la expansión binomial de a más b al cubo o sea que sería empezar con las combinaciones de tres tomados en 0 d al cubo ve al acero más las combinaciones de tres tomados en uno de cuadrada ve a la 1 más las combinaciones de 3 toma 200 a la 1b cuadrada más las combinaciones de tres tomados en 3d a la 0 por b al cubo analicemos de dónde sale cada uno de los coeficientes o sea este que tenemos aquí que nos dice las combinaciones de tres elementos tomados de tres en tres o sea de cuántas maneras en estos tres grupos en estos tres términos puedo yo seleccionar tres veces el número de combinaciones en este caso es irrelevante si está vivo o xy las combinaciones para seleccionar tres veces de los términos pues es una algo similar pasa con este término o sea de estos tres grupos cuántas posibilidades tengo de agarrar cero veces bueno que sería lo mismo que pensar de estos tres grupos cuántas maneras tengo de encontrar tres a seleccionar tres as y en la misma cosa sólo tengo una lo mismo que pasó con este término que está aquí solo tengo una posibilidad de b cuadrada observando los otros términos pues cuántas posibilidades tengo de obtener términos que tengan dos as o sea las permutaciones de dos elementos o las combinaciones que hay en las que puedo obtener dos as y aquí las veo una dos y tres espero no haberte confundido en este tema de la relación que hay entre las combinaciones de cómo están involucradas en el desarrollo del binomio de cómo están involucradas en la expansión binomial su relación al elevar un binomio a una potencia y que esto haya iluminado nuestra intuición veremos en los siguientes vídeos