Demostración: lados opuestos de un paralelogramo

en este vídeo demostraremos un par de hechos simples acerca de paralelo gramos pero que están muy relacionados entre sí vamos a empezar con este dibujo aquí tenemos un paralelogramo bcb y tenemos que probar que la longitud de ave es igual a la bbc esta es igual a ésta y la bbc es igual al área de esta es igual a esta o sea que los lados opuestos miden lo mismo vale bueno para realizar esta prueba vamos a trazar la diagonal b de la diagonal b de ba bueno esta diagonal además de ser una diagonal la podemos pensar como una línea transversal a la pareja de rectas paralelas a b y c de y ya que son paralelas podemos concluir que sus ángulos alternos internos son iguales es decir que el ángulo a vd este de acá es igual al ángulo b de c a este de acá déjame escribirlo de este lado tenemos que el ángulo ángulo es igual al ángulo c d b de ve muy bien de manera similar esta diagonal también es una línea transversal para la pareja de rectas paralelas a de ibc como es paralelogramo veces paralela a ade y por lo tanto ahora estos ángulos el adb y el dbc también son congruentes entonces a dv y este de acá es congruente al cb de al cb de déjame apuntarlo por aquí dv de v es igual al cb deje el ángulo de estas dos afirmaciones de aquí son por ángulos ángulos alternos alternos internos e internos vale bueno ahora porque esto es interesante porque observa además esta recta verde pues es igual a sí misma déjame marcarlo eso eso suena un poco raro pero esta es igual a sí misma entonces observa los triángulos a dv y cpd comparten este ángulo este ángulo y además el lado b de entonces son congruentes eso está padrísimo verdad déjame apuntarlo por acá me voy a poner con este color rojo y tenemos que el triángulo de b nos vamos de aquí al naranja al azul es congruente es congruente a éste al naranja y al azul al cdb al triángulo se ve b y esto se debe justo al criterio de congruencia criterio de congruencia ángulo lado ángulo sale coinciden en los naranjas el lado intermedio y en los ángulos azules bueno y porque está padre que los dos triángulos sean congruentes pues porque esto nos dice que todas sus partes correspondientes también son congruentes entonces observa el el lado ave es el correspondiente al cde entonces gracias a eso podemos concluir lo voy a poner con color amarillo que ave ave es igual a cd acb también podemos concluir que el bc el bc es igual a el de a al d sale esto de aquí lo voy a poner que es por por digamos la dos lados de triángulos triángulos congruentes y eso es justo lo que queríamos demostrar que los lados opuestos eran iguales ya tenemos a b y c de ave igual a c de ibc veces igual la deja muy bien entonces ya demostramos esta parte de la afirmación déjame pasar al siguiente problema que está muy relacionado mira aquí nos dice que en un paralelogramo los lados opuestos miden lo mismo pero el siguiente problema dice que si los lados opuestos miden lo mismo éste es igual a éste y éste es igual a éste entonces es un paralelogramo o sea que ave es paralelo a cede y que bc es paralelo a ade muy bien la prueba va a ser bastante similar otra vez vamos a empezar trazando la diagonal déjame tomar el color amarillo para trazar la diagonal sabemos más de triángulos que quede que para él logramos verdad entonces es bueno conseguir los varios triángulos entonces aquí tenemos que el paralelogramo se partió en estos dos triángulos y observa estos triángulos comparten de este lado el ade y el bc comparten este lado el ave con el cde pero además comparten esta diagonal de la del pd le voy a poner triple raya porque ya use una y dos pero entonces justo estos dos triángulos ahora son congruentes por el criterio lll no voy a poner aquí le voy a poner que el triángulo voy a tomar este este lápiz que el triángulo a d b d es congruente es congruente al triángulo c b b en triángulo se me ve muy bien y esto está padre porque deja dejarle pongo aquí porque o sea esto de aquí esto de aquí sucede por el criterio lll por criterio criterio lll pero esto está padre porque ahora todas sus partes también van a ser congruentes en particular este ángulo el ave de lo voy a poner con con azul el ave de este ángulo de acá va a ser igual al pdc a este de acá entonces lo pongo aquí que el ángulo ave de ave de es igual al ángulo ctv c de b también tenemos la igualdad de estos ángulos los voy a pintar en naranja el adc el atv mejor lo pongo con rojo que no lo he usado a debe es congruente al al cb de este de acá entonces el ángulo debe es igual al ángulo cvd se ve de estas dos afirmaciones son por ángulos ángulos correspondientes correspondientes entre ángulos congruentes lo voy a poner así muchas abreviaciones pero bueno se entiende la idea y bueno que podemos deducir a partir de que este ángulo sea igual a éste y éste sea igual a éste pues otra vez usamos el argumento de ángulos internos alternos pero ahora al revés o sea tenemos que que la recta a b y las sedes son una pareja de rectas donde verde es una transversal este ángulo es igual a este entonces tenemos ángulos alternos internos iguales y por lo tanto podemos concluir que qué ave es paralela a cd no voy a poner en color azul entonces tenemos que ave ave es paralela a cede le voy a poner la raya para referirnos al segmento o bien la recta y también tenemos lo mismo pero para para a de ibc también tenemos que a de ade es paralela abc abc porque esta diagonal esta diagonal es una transversal que tiene ángulos iguales aquí y aquí entonces son ángulos alternos internos iguales y por tanto a d es paralela a abc si quieres lo escribo de este lado esto es por ángulos ángulos alternos alternos internos de los vale entonces con eso concluimos que es paralela abc que ave es paralela a cede y por lo tanto voy a ponerle aquí abajo por lo tanto a veces de paralelogramo lee lo gran entonces está muy bonita la conclusión o sea ya tenemos que si es para l logramos entonces los lados opuestos son iguales este con este y este con este pero también tenemos la afirmación al revés que si los lados opuestos son iguales este con este y este con este entonces tenemos un paralelogramo vale ya lo demostramos en las dos direcciones déjame déjame pasarme para acá bueno lo voy a lo voy a poner aquí mismo entonces ya lo demostramos en las dos direcciones y eso también se le conoce como un sí y sólo sí a qué me refiero con esto que puedes usar la frase que un cuadrilátero abc de es un paralelogramo si sólo si las parejas de lados opuestos son congruentes vale ese sí sólo si quieres decir que si es paralelo gramo entonces las parejas de lados opuestos son congruentes que es lo que probamos arriba y además para que algo sea paralelogramo basta con que las parejas de lados opuestos sean congruentes vale entonces tenemos un lado y el otro y eso es justo lo que demostramos en este vídeo