Introducción a las intersecciones

Digamos que tenemos la ecuación lineal y = ½x - 3.  Si quisiéramos dibujar la recta que representa el   conjunto de puntos donde los valores de sus  coordenadas x y y satisfacen esta ecuación,   podríamos empezar dibujando en el plano  algunos de esos puntos y unirlos con una recta,   porque esta ecuación está representada en el  plano con una recta. Hagamos una tabla para   los valores de x y y, y lo que vamos a hacer  es dar algunos valores de x para obtener los   valores de y. ¿Qué pasa si decimos que el valor  de x es 0? Entonces tendremos que ½ por 0 es 0,   y nos queda -3, entonces y sería -3. Ahora  bien, aquí tenemos ½, así que multipliquemos   por cosas que sean múltiplos de 2 para que sea  más fácil calcular el valor de y. Por ejemplo,   ¿qué pasa si x es 2? Si x es 2, 2 • ½ es 1 y 1 - 3  es -2. Muy bien, ahora veamos qué pasa si x es 4:   4 / 2 es 2 - 3 es -1, y de hecho ya con esos  puntos es suficiente para dibujar una recta. En   realidad, para dibujar una recta sólo necesitamos  dos puntos. Muy bien, entonces vamos a graficar   estos puntos en el plano coordenado que tenemos  aquí. El primero de ellos es 0 - 3, entonces   corresponde a este punto que tenemos aquí; el  siguiente es 2 - 2, que corresponde a este otro   punto que tenemos aquí, y también tenemos 4 - 1,  que es este otro punto. Ahora, nosotros podríamos   intentar dibujar la recta simplemente uniendo  esos puntos, y más o menos se vería algo así,   más o menos de esta forma, muy bien y ahí tenemos  la gráfica o la recta que representa esta ecuación   lineal. Entonces vamos a escribirlo: esta es  la gráfica de la ecuación y = ½x - 3. Ahora   que ya tenemos esta gráfica, cuando vemos  una gráfica de este estilo es interesante   ver dónde interseca los ejes, entonces primero  tratemos de ver la intersección con el eje x,   que es el eje horizontal. Podemos observar que  esa intersección se encuentra en este punto,   esta es la intersección con el eje x, y a este  punto en particular se le conoce como abscisa   al origen, esta es la abscisa al origen, y, por  supuesto, la coordenada es 6,0. Entonces, siempre   que veamos una recta que interseca al eje x el  punto donde el interseca se conoce como abscisa   al origen. En este caso la coordenada es 6,0, y  por supuesto que la coordenada y es 0, justamente   porque estamos sobre el eje x o el eje de las  abscisas, como también se le conoce al eje x,   y por eso es que este punto lleva ese nombre. Muy  bien, ahora podríamos preguntarnos ¿en qué punto   interseca esta recta al eje y? Y podemos observar  que este es el punto donde interseca al eje,   y de hecho aquí está en la tabla. Cuando x es 0  nos encontramos sobre el eje y, el eje vertical,   en el punto -3 sobre el eje y, y entonces a  este punto se le conoce como ordenada al origen,   porque al eje y también se le conoce como el eje  de las ordenadas, y este punto es 0, -3. Muy bien,   ahí tenemos tanto la abscisa como la ordenada  al origen. Ahora bien, este punto también lo   podríamos verificar en nuestra ecuación. Veamos:  cuando x vale 0, entonces tenemos que y vale -3,   el otro punto sería cuando y vale 0, entonces  cuando y vale 0 tenemos que ½x - 3 es 0, es decir,   necesitamos un valor de x que al dividirlo entre  2 y restarle 3 nos dé 0, por lo que si x vale 6   al dividirlo entre 2 es 3 y al restarle 3 nos da  0. Entonces estos dos puntos los podemos verificar   directamente en nuestra ecuación lineal. Muy  bien, ahora que ya sabes cómo se encuentran   las ordenadas y la abscisa al origen, vamos a  hacer otro ejemplo. Digamos que tenemos ahora   la ecuación lineal 5x + 6y = 30. Como siempre  te invito a que hagas una pausa y trates de   hallar por tu cuenta la ordenada y la abscisa al  origen de la gráfica que describe esta ecuación,   que de hecho es una recta. Vamos a hacerlo juntos,  vamos a comenzar haciendo nuestra tabla. Bien,   pongamos una tabla donde tengamos los valores de  x y los valores de y. Ahora, si nosotros queremos   encontrar la ordenada al origen necesitamos  que el valor de x sea 0, entonces si x vale 0   este término es 0. Y ahora nos preguntamos ¿qué  valor de y al multiplicarlo por 6 nos da 30?,   y el valor de y que al multiplicarlo por 6 nos da  30 es 5, entonces y vale 5. Y si ahora queremos   encontrar la abscisa al origen, eso es cuando  y vale 0, entonces este término es igual a 0,   y nos preguntamos ¿qué valor de x al multiplicarlo  por 5 nos da 30? Entonces vemos que si y vale 0,   entonces x tendrá que ser 6, porque 6 • 5  es 30. Ya podemos graficar estos puntos:   tenemos el 0,5 que se encuentra aquí, y tenemos el  6,0, que coincide con este otro punto de la recta,   y nosotros queremos dibujar la recta que pasa por  estos dos puntos, podríamos hacer algo así y luego   así para dibujar el otro lado, más o menos. Y ahí  tenemos la gráfica de la recta que satisface esta   ecuación, y simplemente necesitábamos dos puntos:  el primero de ellos es la ordenada al origen,   cuyas coordenadas son 0,5, este de aquí  es el punto de la ordenada al origen,   y podemos observar que también este punto, el  6,0, coincide con la abscisa al origen. Muy bien,   ahí tenemos otro ejemplo más de cómo  encontrar las intersecciones con los ejes.