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Contenido principal

Patrones gráficos

Patrones geométricos

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás las nociones relacionadas a patrones geométricos y su aplicación en la resolución de problemas de diversos contextos.

Definición

Los patrones geométricos son secuencias de figuras (como círculos, triángulos, cuadrados, etc.) que tienen una regularidad. Esta regularidad permite observar tanto lo que cambia como lo que permanece constante en la secuencia de figuras.
Los patrones geométricos son similares a los patrones numéricos, porque siguen una regla que se conoce como patrón.
Por ejemplo, a continuación, se muestra una secuencia de figuras que presenta una regularidad:
Las situaciones que involucran patrones geométricos se caracterizan por asociarse a las propiedades geométricas de las figuras, tales como las transformaciones de traslación, rotación y ampliación, por mencionar algunos casos.
Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Cinthia debe organizar mesas y sillas de una forma particular. Cada invitado se debe sentar en una silla. Observa la siguiente imagen:
a) ¿Cuántas sillas necesitará Cinthia si junta 4 mesas?
b) ¿Cuántas sillas necesitará Cinthia si junta 22 mesas?
c) Si 46 invitados quisieran sentarse juntos, ¿cuántas mesas se necesitarían?

Explicación

Parte a)
Como observamos en la imagen, la cantidad de sillas aumenta según aumenta la cantidad de mesas. Elaboremos una tabla para tener una idea más clara.
Cantidad de mesas1234n
Cantidad de sillas46810?
Gracias a la tabla, sabemos que, si juntamos 4 mesas, necesitaremos 10 sillas.
Parte b)
Para hallar la cantidad de sillas que se necesitan si juntamos 22 mesas siguiendo la secuencia dada, buscamos una regla de formación para la cantidad de sillas en función de la cantidad de mesas.
Cantidad de mesasCantidad de sillasRegla
142×1+2
262×2+2
382×3+2
4102×4+2
nS2×n+2
De lo anterior, se desprende que la cantidad de sillas S depende de la cantidad de mesas n, siendo la regla de formación:
S=2n+2
Así, para obtener la cantidad de sillas necesarias al juntar 22 mesas, reemplazamos:
S=2×22+2S=46
Por tanto, al juntar 22 mesas, se necesitan 46 sillas.
Parte c)
Como los 46 invitados se quieren sentar juntos, este valor representa a S, es decir, a la cantidad de sillas. Por lo tanto, debemos calcular el valor de n para ordenar las 46 sillas.
Utilizamos la expresión de la regla de formación para resolver el problema.
46=2n+2462=2n+2244=2n442=2n222=n
Por tanto, se necesitarán 22 mesas para ordenar en 46 sillas a todos los invitados.

Ejemplo 2

Armando elaboró una secuencia de figuras con dibujos de los geoglifos de la cultura peruana paracas.
¿Qué dos figuras completan la secuencia mostrada? ¿Cuál es la secuencia completa?

Explicación

Nombramos a cada figura según el lugar que ocupa en la serie
En esta situación, observamos una secuencia de figuras que guardan una relación especial. En particular, observamos dos patrones geométricos; por repetición y por rotación.
Observamos que la siguiente figura:
cumple el patrón de repetición, ya que se repite en el tercer lugar de la secuencia. Así, también ocupará el quinto lugar de la secuencia.
Observamos que la siguiente figura:
cumple un patrón de rotación, ya que la figura se repite en el cuarto lugar de la secuencia, pero con un giro de 90° hacia la derecha.
Esta figura rotada volverá a rotar 90° hacia la derecha y quedará en el sexto lugar de la secuencia.
La secuencia completa es la siguiente:

Ejemplo 3

A partir de la secuencia anterior.
¿Qué figuras ocupan el lugar 15 y el 22?

Explicación

Para el lugar 15
Como se mostró en el caso anterior, la figura
ocupa los lugares impares, es decir, los lugares: 1;3;5;7;9;. Como se pide la figura del lugar 15, entonces esta será la figura que va a ocupar esa posición.
Para el lugar 22
Observamos que en esta posición se ubicará la figura que rota.
Para averiguar qué tipo de rotación le corresponde, analicemos las rotaciones respecto a los lugares que ocupa en la secuencia.
De la imagen anterior, se desprende que la figura da un giro completo después de 4 posiciones. En este caso, al llegar al lugar 10 vuelve a su posición inicial.
Además, cada 4 rotaciones, la figura vuelve a su posición inicial.
2;4;6;8vuelta completa;10;12;14;16vuelta completa;
Podemos observar que cada cuatro lugares pares la figura da una vuelta completa, es decir, la figura vuelve a su posición inicial.
2;4;6;8vuelta completa;10;12;14;16vuelta completa;18;20;22;24vuelta completa;
Por tanto, el lugar 22 corresponde a la figura:

Ejemplo 4

Debes elaborar banderines con figuras que forman un patrón. Observa la siguiente imagen:
Si los 4 primeros banderines forman el núcleo del patrón,
¿qué otros 3 banderines seguirían en la secuencia?

Explicación

Asignamos posiciones a cada banderín que forma parte del núcleo del patrón de la secuencia. Observa la siguiente imagen:
En las posiciones 1 y 3, observamos un patrón de traslación, ya que la misma figura se traslada en forma horizontal.
En las posiciones 2 y 4, observamos un patrón de reducción, ya que son la misma figura, pero la segunda tiene un tamaño más reducido.
Ahora, como el núcleo del patrón está formado por estas cuatro figuras:
las tres figuras que completan la secuencia gráfica son:

Ejemplo 5

Debes elaborar un modelo de figuras para decorar la pared de un centro educativo. Observa la imagen:
a) Identifica el núcleo del patrón.
b) ¿Qué tipo de patrones hay en el modelo?
c) ¿Qué figura continúa en el modelo mostrado?

Explicación

Parte a)
Observando la secuencia de figuras del modelo, podemos afirmar que el núcleo del patrón está formado por 4 figuras, ya que, después de estas 4 figuras, el modelo retoma su posición inicial.
Parte b)
En el modelo del ejemplo, se evidencia un movimiento en el plano de traslación y rotación. Para explicar estos patrones, utilizamos como base las tres primeras figuras del núcleo del patrón. Observa:
  • Patrón de traslación
  • Patrón de rotación
Hay que mencionar que el núcleo del patrón es el que se repetirá en la secuencia.
Parte c)
La figura que continúa la secuencia es:
ya que es la tercera figura del núcleo del patrón.

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