Área de la superficie de una pirámide

En este video hablaremos del área total de  la superficie de una pirámide. Pero antes,   recordemos qué es una pirámide y qué elementos  la componen. Una pirámide es un poliedro, donde   una de sus caras es una región poligonal llamada  base y las otras caras son regiones triangulares   con un vértice en común. Los elementos de la  pirámide son seis: primero tenemos esta parte,   que se llama base -que podemos ver aquí-;  por acá tenemos las caras laterales que,   como sabemos, deben de ser triangulares; estas  son las aristas, puedes verlas; después tenemos   los vértices de nuestra pirámide, al vértice de  arriba de nuestra pirámide se le llama ápice;   por acá se muestra la altura de la pirámide, es  decir, la distancia que va del ápice al centro   de la base de la pirámide. Y, ahora, un concepto  nuevo: apotema o altura de las caras laterales,   que es esta de aquí. El apotema es la distancia  que hay del ápice al punto medio de uno de los   lados de la base, dicho de otra manera: es  la altura del triángulo que forma cada cara   lateral. El objetivo y la pregunta interesante  de este video es: ¿cómo encontramos el área   total de la superficie de una pirámide?  Bueno, para visualizar mejor el área total   de cualquier pirámide vamos a descomponerla  en figuras planas. Observa: en este caso,   se trata de una pirámide cuadrangular, entonces  tenemos una base, que es un cuadrado, y después   tenemos cuatro triángulos isósceles iguales: 1,  2, 3, 4. De nuevo, aquí podemos ver las aristas,   o los lados de la base, y aquí se puede ver con  mayor claridad el apotema de la pirámide, que   es lo mismo que la altura de estos triángulos. Así  que para encontrar el área total de esta pirámide,   necesitamos encontrar, primero, el área de  la base, que llamaremos A subíndice b, y   al área de la base le sumaremos el área de cada  una de las caras de estos triángulos laterales,   que sombrearemos con este color rosado y que  llamaremos A subíndice l, es decir: A subíndice   l es el área de uno de estos triángulos isósceles.  Como en una pirámide cuadrangular tenemos cuatro,   entonces vamos a sumar cuatro veces A subíndice  l, o, dicho de otra manera, vamos a multiplicar   A subíndice l por cuatro. Es muy importante  que no olvidemos multiplicar el área lateral,   es decir, el área de la sección triangular,  por la cantidad de lados de nuestra base, que,   en este caso, es 4. Pon mucha atención a esto.  Ahora, para entender mejor cómo podemos calcular   el área total de una pirámide, hagamos un ejemplo  de la vida real. Veamos el siguiente escenario:   imagina que queremos limpiar los vidrios de la  pirámide invertida del Museo Louvre. Debo aclarar   que se trata de una pirámide común y corriente,  sólo que la pusieron de cabeza. Sería muy buena   idea saber cuántos metros cuadrados tiene el área  de la superficie para calcular el tiempo que nos   tomará hacerlo. Si sabemos que la base cuadrada  tiene 16 metros por lado y la altura de la   pirámide es de 7 metros, ¿cómo podemos encontrar  el área total de la superficie de la pirámide para   saber cuánto tiempo nos llevará? Bien, pausa  el video e intenta encontrar la respuesta con   la ayuda de la fórmula del área de la superficie  de una pirámide. Este problema me agrada mucho.   Lo grandioso es que tenemos las medidas reales  de la segunda pirámide francesa más importante;   la primera es la pirámide principal del Louvre,  aunque ésta es mi favorita. Como dato interesante,   esta pirámide fue construida por el arquitecto  chino Ming Pei, en 1989, y pesa 180 toneladas.   ¡Una belleza! Muy bien, trabajemos juntos. Vamos a  escribir por aquí las medidas de nuestra pirámide,   y queremos encontrar el área total de la  superficie de la pirámide con esta expresión,   así que primero encontremos el área de la base  de nuestra pirámide. Para eso sólo habrá que   multiplicar el lado por el lado, ¿cierto? El área  de un cuadrado se calcula como: lado por lado,   o lado al cuadrado, que es 16 metros, todo esto  al cuadrado y, bueno, 16 por 16, o 16 al cuadrado,   es 256 metros cuadrados; así que el área de la  base son 256 metros cuadrados. Ahora bien, tenemos   que sumar a esta área de la base las cuatro áreas  laterales, por lo tanto, requerimos encontrar el   área de los triángulos laterales de esta pirámide.  Una vez que encontremos el área de un triángulo   lateral, al multiplicarlo por 4, ya tendremos  una pirámide cuadrangular y estaremos muy cerca   del resultado. ¿Cómo podemos encontrar el área  lateral? Bueno, tal vez estés tentado a decir:   "Sabemos que el área de un triángulo se obtiene  multiplicando la base por la altura entre 2; como   tenemos un triángulo, hay que multiplicar la base  del triángulo que, ya sabemos que mide lo mismo   que el lado de la base de la pirámide, por la  altura de la pirámide y dividirla entre 2"; pero   ten cuidado, esta idea no es del todo correcta. En  efecto, sabemos que el área de un triángulo es su   base por su altura entre 2, también sabemos que  la base del triángulo es, en efecto, lo que mide   uno de los lados del cuadrado que forma la base  de la pirámide, es decir, 16 metros; sin embargo,   el dato que nos dan es la altura de la pirámide,  no la altura del triángulo lateral. Recuerda que   a la altura del triángulo lateral le llamamos  apotema de la pirámide. Nuestra expresión para   encontrar el área lateral es, bueno, base por  el apotema de la pirámide entre 2, entonces,   ¿cómo podemos encontrar el apotema de la pirámide  si tenemos la altura de la pirámide? Bueno:   utilizando el Teorema de Pitágoras. Podemos ver  que se forma un triángulo rectángulo entre la   altura de la pirámide, la mitad de lo que mide  uno de los lados de la base de la pirámide y el   apotema de la pirámide. Esto pasará siempre en  una pirámide regular. Y nosotros tenemos como   datos los dos catetos: sabemos que la altura de  la pirámide es de 7 metros y la mitad del lado   de la base de la pirámide es de 16 metros entre  2, es decir, 8 metros. Entonces utilicemos el   Teorema de Pitágoras para obtener el apotema  de la pirámide. Sabemos que el primer cateto   al cuadrado, es decir 8 metros -todo esto al  cuadrado-, más el segundo cateto al cuadrado,   es decir, 7 metros -esto también al cuadrado-,  debe de ser igual al apotema de la pirámide al   cuadrado. Entonces tenemos que: 8 metros, todo  eso al cuadrado, más 7 metros, esto al cuadrado,   eso es lo mismo que 64 metros cuadrados más 49  metros cuadrados, y eso es lo mismo que el apotema   al cuadrado, y 64 metros cuadrados más 49 metros  cuadrados es 113 metros cuadrados. Si sacamos raíz   cuadrada de ambos lados de la ecuación, tenemos  que el apotema de la pirámide es 10.63 metros,   redondeando al centésimo más cercano, así  que vamos a escribirlo: 10.63 metros -por   aquí también: 10.63 metros-. Perfecto. Esto es  muy emocionante. Ya estamos muy cerca del final,   porque en nuestra fórmula tenemos que: el área  lateral es igual a la base por el apotema de   la pirámide entre 2, y sabemos que la base del  triángulo es de 16 metros, y acabamos de encontrar   que el apotema es de 10.63 metros. Entonces,  ya podemos calcular nuestra área lateral,   será: 16 metros • 10.63 metros / 2; y esto es  lo mismo que, si sacamos nuestra calculadora:   tenemos que 16 • 10.63 / 2, esto es lo mismo que  85.04 metros cuadrados. Muy bien, ya tenemos el   área lateral de una de las secciones triangulares.  Pero en esta pirámide tenemos cuatro de ellas,   ya que tenemos una pirámide cuadrangular, así  que para encontrar el área total que buscamos   tenemos que sumar el área de la base más cuatro  veces esta área lateral; entonces el área total   va a ser igual a: el área de la base, pero el área  de la base son 256 metros cuadrados, más 4 veces   el área lateral, que son 85.04 metros cuadrados.  Entonces, de nuevo, saquemos nuestra calculadora,   y tenemos que: 256 + 4 • 85.04, esto es lo  mismo que 596.16 metros cuadrados. Y ya está,   hemos acabado. Ya que el área total cubierta  por el vidrio de la pirámide es de 596.16   metros cuadrados. Por lo pronto, ya conocemos  el área que tenemos que limpiar -y creo que   nos va a llevar mucho tiempo-, por lo tanto,  eso es todo por este video. Hasta la próxima.