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Curso: 3° Secundaria > Unidad 2

Lección 3: Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de eliminación (reducción)

Resolver sistemas de ecuaciones por el método de eliminación: x-4y=-18 y -x+3y=11

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones al eliminar x: x-4y=-18 y -x+3y=11. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Por aquí tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales: X –4 Y es igual a –18, y la segunda ecuación, es –X + 3Y es igual a 11. Ahora lo que quiero que hagamos en este video es encontrar un par X, Y que satisfaga ambas ecuaciones. Eso es lo que significa resolver el sistema. Como ya habrás visto, hay un montón de pares X, Y que satisfacen esta primera ecuación. De hecho, si los graficaras, formarían una recta, y hay un montón de otros pares X, Y que satisfacen esta segunda ecuación, y de nuevo si los graficaras, formarían tambièn una recta. Pero, si encontramos un par X, Y que satisfaga ambas, entonces sería la intersección de las rectas y nuestra solución, así que vamos a hacerlo. Vamos a reescribir la primera ecuación por aquí, X –4 Y es igual a –18. Y, ya hemos visto en álgebra que, mientras hagamos lo mismo de ambos lados de la ecuación, podemos mantener nuestra igualdad. Y nuestro objetivo es eliminar una de las variables para que tengamos una ecuación con una incógnita, así que ¿qué pasará si añadimos – X +3Y al lado izquierdo por acá? –X +3Y. Y esto se ve bastante bien porque X y –X se cancelan, y solo nos vamos a quedar con –4 Y +3 Y. Y esto será simplemente –Y. Así que, añadiendo el lado izquierdo de esta ecuación inferior al lado izquierdo de la ecuación superior, logramos cancelar las X. X – X. Y eso es bastante bueno para nosotros. Pero, ¿qué pasará en el lado derecho? Ya hemos dicho que tenemos que añadir lo mismo a ambos lados de la ecuación. Y podríamos estar tentados a decir, bueno, si tengo que añadir la misma cosa a ambos lados, tal vez tengo que añadir – X +3Y a este lado. Pero eso no nos va a ayudar mucho. Porque nos quedarìa –18 – X +3Y. Y de nuevo introdujimos una X en el lado derecho de la ecuación, pero… ¿y si pudiéramos añadir algo que sea equivalente a –X +3Y que no introduzca de nuevo a la variable X? Pues bien, sabemos que el número 11 es equivalente a –X +3Y. ¿Cómo lo sabemos? Bueno, esa segunda ecuación nos lo dice. Así que una vez más, todo lo que estoy haciendo es añadir lo mismo a ambos lados de esta primera ecuación. A la izquierda, lo estoy expresando como –X +3Y, pero la segunda ecuación nos dice que –X +3Y va a ser igual a 11. ¡Esta es nuestra segunda restricción! Así que vamos a añadir 11 del lado derecho de la escuaciòn, que es, una vez más, lo mismo que –X +3Y. Así que –18 más 11 es –7. Y ya que hemos añadido lo mismo a ambos lados, la igualdad todavía se mantiene, y así, obtenemos –Y es igual a –siete, …o si dividimos ambos lados entre –1 o multiplicamos ambos lados por –1. De hecho, vamos a multiplicar ambos lados por –1. Es lo mismo, Y así, obtenemos que Y es igual a 7, Y ya tenemos la coordenada Y del par X, Y que satisface ambas ecuaciones. Ahora, ¿cómo encontramos la X? Bueno, podemos sustituir ese Y igual a 7 en cualquiera de estas dos ecuaciones iniciales. Cuando Y es igual a siete, deberíamos obtener la misma X independientemente de la ecuación que utilicemos. Así que vamos a utilizar la ecuación superior. Sabemos que X –4 veces… en lugar de escribir Y, voy a escribir cuatro veces 7 porque queremos encontrar el valor de X cuando Y es igual a siete. Eso va a ser igual a –18, y entonces veamos, 4 veces 7 es 28. Y veamos para resolver para X podemos añadir 28 a ambos lados. En el lado izquierdo, – 28+ 28 se cancelan. Y solo me queda X, y en el lado derecho, tenemos –18 + 28 es 10. Así que… ¡ahí lo tienes! Tenemos el par X, Y que satisface ambas ecuaciones. X es igual a 10 y Y es igual a 7. Déjame escribirlo. Podemos escribirlo como coordenadas. (10, 7), Y te invito a que sustituyas Y es igual a 7 aquí, en esta segunda ecuación de rojo y también obtendrás que X es igual a 10. De cualquier forma, obtendríamos X es igual a 10. Y vamos a visualizar lo que está pasando por aquí, vamos a visualizarlo muy rápido. Voy a dibujar algunos ejes coordenados, ***digamos que este es nuestro eje Y, y este es nuestro eje X***, Y entonces, veamos, la ecuación superior se va a ver algo así. ***Y la ecuación inferior se va a ver algo así. Y por lo tanto, el punto de intersección por aquí, que es un par X, Y que satisface ambas ecuaciones, se encuentra cuando X es igual a 10, y Y es igual a siete. Una vez más, esta recta de color blanco, son todos los pares X e Y que satisfacen la ecuación superior. Esta recta de color naranja, son todos los pares X e Y que satisfacen la ecuación naranja, y donde se intersecan, tenemos este punto amarillo que está en ambas rectas. Ese punto, satisface ambas ecuaciones. Y una vez más, si sutituímos X igual a 10, y Y igual a siete en cualquiera de estas ecuaciones, podremos ver que la igualdad que se mantiene.