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3° Secundaria

Curso: 3° Secundaria > Unidad 7

Lección 2: La distancia entre dos puntos
Matemáticas
3° Secundaria
Geometría: Teorema de Pitágoras y distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos
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Fórmula de la distancia

Google Classroom
Derivación paso a paso de una fórmula general para la distancia entre dos puntos.
La start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre los puntos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis y left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis está dada por:
square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
¡En este artículo vamos a derivar esta fórmula!

Derivación de la fórmula de la distancia

Comencemos por graficar los puntos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis y left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis.
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y, etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos.
La longitud del segmento entre los dos puntos es igual a la start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre ellos:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos.
Queremos encontrar la start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, n, c, i, a, end text, end color #11accd. Si dibujamos un triángulo rectángulo, ¡seremos capaces de usar el teorema de Pitágoras!
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo.
Una expresión para la longitud de la base es start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo. Se desconoce la hipotenusa del triángulo rectángulo y el lado formado desde el punto en x uno, y uno y x dos, y uno está etiquetado como x dos menos x uno.
Similarmente, una expresión para la longitud de la altura es start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo. Se desconoce la hipotenusa del triángulo rectángulo y el lado formado desde el punto en x uno, y uno y x dos, y uno está etiquetado como x dos menos x uno. El tercer lado está etiquetado como y dos menos y uno.
Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, squared, equals, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared
Resolvemos para start color #11accd, question mark, end color #11accd al tomar la raíz cuadrada de ambos lados:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, equals, square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
¡Esto es todo! ¡Hemos derivado la fórmula de la distancia!
Curiosamente, mucha gente no memoriza esta fórmula. En vez de eso, cada vez que quiere encontrar la distancia entre dos puntos, dibuja un triángulo rectángulo y usa el teorema de Pitágoras.

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