Geometría (CA): área, cuerdas y tangentes del círculo

problema 71 cuál es el valor de x en el siguiente triángulo muy bien nos marcan que el triángulo es rectángulo y además que es isósceles porque estos dos lados miden lo mismo entonces estos dos ángulos miden lo mismo y además deben sumar 90 grados para que con este de 180 y por lo tanto como son iguales y suman 90 cada uno es de 45 grados 45 grados bueno resulta que este tipo de triángulos es bien conocido este tipo de triángulos es un tipo de triángulos que son muy conocidos vale si tenemos un triángulo que es rectángulo isósceles o sea este lado mide lo mismo que éste y este lado mide digamos entonces la hipotenusa mide raíz de 2 ya raíz de 2 pero no tienes que creerme así con fe ciega vamos a hacerlo para que veas de dónde salen estas razones vale bueno en realidad este simplemente es utilizar el teorema de pitágoras así que no va a ser nada muy sorprendente tenemos que x al cuadrado más x al cuadrado es igual a 10 al cuadrado haciendo pitágoras aquí entonces 2 x al cuadrado es igual a 100 dividiendo entre 2 al cuadrado es igual a 50 y por lo tanto x es igual a raíz de 50 eso está en las opciones no entonces seguro quieren que lo simplifiquemos entonces x es igual a raíz de vamos a ponerlo como 25 por 2 para que quede aquí un cuadrado entonces x es igual a raíz de 25 o sea 5 por raíz de 2 raíz de 2x igual a raíz de 25 raíz de 2 si aquí esta opción b bueno y te cuento esto de que es un triángulo bien conocido porque a veces es más rápido recordar recordar estas razones y simplemente aplicar eso en el problema por ejemplo si aquí sabemos que 10 es raíz de 12 entonces basta a dividir 10 entre raíz de 2 para obtener x y 10 entre raíz de 2 cuando es entre raíz de dos vamos a multiplicar por raíz de 2 arriba y abajo raíz de dos entonces nos queda 10 raíz de 2 entre 2 ese 2 se está escondiendo entre 2 que es igual a 5 raíz de 2 entonces esta es otra forma de obtenerlo si nos acordamos en qué razón están estos lados del triángulo 45 45 90 pero bueno si no te acuerdas de eso siempre tienes la opción de volver a usar el teorema de pitágoras vamos al problema 72 dice cuál es el valor de x en pulgadas aquí tenemos x un ángulo de 30 entonces este triángulo es de 30 60 90 30 60 90 vale y por lo tanto conocemos la razón entre sus lados ya habíamos platicado de esto en otro vídeo pero como pequeño recordatorio en los triángulos de 30 60 90 tenemos que si esto mide y estoy acá mide 12 y estoy acá me de raíz de 3 porque otra vez no tienes que creer me lo en realidad ya lo demostramos y más o menos la idea era era completar este triángulo para que se hiciera un triángulo equilátero lo cual podemos hacer porque este ángulo es de 60 y este de 30 y claro este de 90 entonces si éste era y éste era y esther ayer vale y entonces este de acá otro lado del equilátero también tiene que medir 12 y bueno el tercer lado salía con el teorema de pitágoras entonces éste era más o menos la idea vamos a aplicar esto que ya sabemos en el triángulo que tenemos aquí si éste es de 7 pulgadas el día acá mide 14 pulgadas 14 pulgadas y siempre el que es más difícil de recordar es el tercero el de raíz de 3 y entonces bueno digo aquí simplemente pudiéramos poner 7 x raíz de 3 y entonces la respuesta sería ah pero vamos a hacer lo que haríamos si no si no recordamos los de raíz de 3 si no recordamos eso entonces tendríamos que aplicar el teorema de pitágoras con x 7 y 14 entonces tendríamos x al cuadrado más 7 al cuadrado es igual a 14 al cuadrado entonces x al cuadrado más 49 es igual a 196 14 al cuadrado 14 x 14 según yo si es 196 pero lo checamos 4 por 14 56 10 por 14 140 entonces al sumar esto nos queda 196 va bueno entonces ahora nos queda que quizá al cuadrado es igual a 196 menos 49 son números muy grandes creo que por eso es bueno recordar esto pero bueno vamos a hacerlo 196 menos 49 que hay que restar este 9 para 67 llevamos un este 4 se hace 5 para 94 y 0 para uno es 1 entonces x al cuadrado es igual a 196 menos 49 que es igual a 147 es mucho hice todo bien espero no tener un error de cuentas y x al cuadrado bueno ya vamos a ponerle x es igual a raíz de 147 y entonces x es igual a raíz de haber 147 es como 150 pero le faltan 3 entonces es 49 por 3 si estoy aquí es igual a raíz de 49 o sea 7 por raíz de 3x es igual a 7 por raíz de 3 y entonces ahí tenemos otra forma de encontrar este lado si no nos acordamos de las razones de este triángulo especial vale bueno vamos a pasar al problema 73 a veces si es bueno aprenderse algunas cosas yo siempre estoy esté en contra de memorizar pero en estos casos creo que es útil funciona para este examen y para el este y para otros pero bueno dice un cuadrado es circunscrito alrededor de un círculo circunscrito es que está vamos a hacer el dibujo entonces así aquí está el círculo el cuadrado circunscrito más o menos a ver si sale bien más o menos es algo así y eso está suficientemente bueno bueno aquí debería ser tangente aquí también aquí también aquí también va entonces ahí tenemos el dibujo y nos preguntan cuál es la razón entre el área del círculo y el área del cuadrado pues nada más queremos la razón entonces déjame proponer aquí un radio r vamos a proponer aquí un cierto radio r si esto mide r también para acá me dé r porque aquí también tenemos un punto de la circunferencia entonces el lado del cuadrado mide 12 r entonces el área del cuadrado el área es 4 r al cuadrado es elevar 2 r al cuadrado vale bueno y lo que nos piden es la razón entre el área del círculo lo voy a poner el área del círculo y el área del cuadrado va si recordamos un círculo de radio r tiene tiene área pi por radio al cuadrado y por radio al cuadrado y un cuadrado bueno este cuadrado tiene área 4 r al cuadrado como ya lo vimos aquí su lado al cuadrado entonces es re cuadrada se cancela con el re cuadrada y nos queda igual a pie entre 4 opción de g muy bien aquí también fue bueno recordar lo del área del círculo verdad entonces a lo mejor no es tan malo recordar cosas memorizar las bueno problema 74 problemas 74 en la siguiente circunferencia a b y c de los segmentos a b y c d son cuerdas que se intersectan en el ok se intersectan aquí dice si es igual a 5 esta medida si en eso quedó feo si esta medida es 5 b es igual a 12 es igual a 6 cuál es la longitud del segmento de queremos queremos la longitud de este segmento de acá bueno vamos a utilizar una propiedad de la intersección de cuerdas de un círculo que no vamos a demostrar pero que es muy útil vale dice lo siguiente si estoy aquí es x entonces el producto de los segmentos que quedaron cortados en cada uno de los segmentos es constante es mejor escribir lo que decirlo o sea a lo que me refiero es que 5 x 12 5 x 12 es igual a 6 x x es igual a 6 x x y con esto pues tenemos una ecuación en x 5 x 2 es igual a 60 60 es igual a 6 x dividiendo entre 6 tenemos que x es igual a 10 entonces la respuesta es sí y bueno no lo voy a probar porque es un poquito latoso pero si quieres puedes intentarlo por tu cuenta más o menos la idea a lo mejor hasta hasta ya te sople demasiado o te dé mucha información de cómo de como es resolverlo como probar esta propiedad pero más o menos la idea triángulos ace y bebés van a ser semejantes ya comparten este ángulo de acá por ser opuesto por el vértice y además de este ángulo de acá que es congruente a este de acá porque a ambos abren la cuerda a de entonces jugando un poco con esa semejanza y son triángulos semejantes que oficie congruentes pero no son semejantes jugando con esa semejanza puedes obtener estas razones o bien es esta propiedad vale bueno te lo dejo para que lo intentes a lo mejor luego haga un vídeo de de cómo se hace vamos finalmente con el problema 75 va a ser el último de este vídeo dice la recta rv esta de acá están gente a la circunferencia de centro a este centro centro en el punto b en este punto de acá y además sabemos que ve de es un diámetro muy bien verde es diámetro y lo que nos preguntan es la medida del ángulo cb r r este ángulo de acá muy bien pues aquí simplemente es darse cuenta darse cuenta que ave es un radio como bd es diámetro y es el centro entonces ave es radio y por lo tanto ésta que es la tangente es perpendicular al radio al radio que pasa por el punto de tangencia entonces si éste se llama x vale si este ángulo se llama x tenemos que xy 25 son complementarios suman 90 grados entonces la medida del ángulo x más 25 grados es igual a 90 grados y por lo tanto la medida del ángulo del ángulo x es igual a 90 menos 25 o sea 65 grados vale una vez más esta es una de las propiedades que es bueno recordar las un radio siempre es perpendicular a la tangente que pasa por el punto de tangencia del punto de tangencia a donde llega ese radio vale entonces esto de aquí es de 90 grados bueno entonces es 65 y la respuesta es vamos a dejarle hasta aquí nos vemos en el siguiente vídeo para terminar con este examen de geometría de california