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Demostración de la fórmula de Herón (parte 1)

Demostramos la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo solo teniendo la longitud de sus lados. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

supongamos que tenemos un triángulo aquí voy a pintar el triángulo en color naranja y que sabemos que las longitudes de sus lados son a b y c y que a partir de esta información queremos determinar el área del triángulo tenemos una fórmula muy clásica para encontrar esto el área que nos dice que el área el área es igual a un medio del producto de la base de la base con la altura altura altura sin embargo no podemos utilizar esta fórmula en este problema de aquí porque aunque sepamos por ejemplo que se es la base que esto de acá me dice pues no tenemos información acerca de la altura la altura es una recta pues rara diferente a estas que pasa por el medio del triángulo y que baja perpendicularmente que si le ponemos que mide h pues no sabemos todavía cómo relacionarla con ave y se salen ahora si viste el vídeo anterior seguramente me vas a decir bueno pues podemos utilizar la fórmula de heron si aquí podemos utilizarla pero justo a la idea de este vídeo y de el siguiente es demostrar esa fórmula es decir lo que queremos hacer es ver por qué siempre es cierta vale y para hacer eso lo que vamos a hacer es utilizar el teorema de pitágoras un par de veces y luego vamos a hacer algunas simplificaciones algebraicas vamos a empezar con esto primero déjame introducir una variable auxiliar que le vamos a poner x que va a ser la distancia de este vértice al pie de la altura este de aquí este cachito de aquí vamos a poner que mide x eso es un truco muy común en geometría sale y entonces si este cachito de acá me de x lo que va de este pies de altura a este vértice de acá es cm x para que entre los dos súmense que es la longitud de este lado es menos x y con estas longitudes ahora sí déjame aplicar el teorema de pitágoras a este triángulo rectángulo de acá y a este de acá déjame ponerlo por acá para ver qué queda nos quedaría que x al cuadrado más h al cuadrado es igual a al cuadrado eso es este triángulo y que se menos x al cuadrado c - x elevado al cuadrado más h al cuadrado al cuadrado es igual a b al cuadrado eso es este triángulo rectángulo de acá bueno observa que aquí tenemos un sistema de ecuaciones en dos variables y que consta de dos ecuaciones las variables son x y h y entonces con un poco de suerte podemos encontrar el valor de h en términos de a b y c y después sustituirlo aquí arriba para ver que nos queda y avanzar hacia la fórmula de heron vamos a hacer eso déjame empezar despejando h de aquí nos queda que h al cuadrado es igual a al cuadrado menos x al cuadrado y ahora este valor de h cuadrada lo voy a sus a sustituir aquí abajo es decir nos quedaría hace menos x al cuadrado que lo voy a desarrollar de una vez es un binomio al cuadrado nos quedaría se cuadrada menos dos veces c x + x al cuadrado más h al cuadrado que es esta expresión que encontramos a cuadrada menos x al cuadrado al cuadrado es igual a b al cuadrado es igual al cuadrado y aquí ya no tenemos h entonces podemos despejar x vamos a hacer esto pero primero déjame cancelar x al cuadrado con menos x al cuadrado y ahora lo que tendríamos que hacer es pasar lo que tiene x de un lado y lo que no de otro déjame sumar 2 veces x de ambos lados de la igualdad más 2 veces 2 veces x y restar b cuadrado menos b cuadrada menos b cuadrado entonces b cuadrado se cancela con menos b cuadrada menos 12 x con 12 x y obtenemos lo siguiente obtenemos que se cuadrada más a cuadrada se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada menos b cuadrada es igual a dos veces c x y para despejar x simplemente dividimos entre 2 se nos queda que x x es igual a c cuadrada más a cuadrada cuadrada menos b cuadrada dividido entre dos veces c este de aquí es el valor de x este valor de x lo podemos sustituir aquí arriba para determinar el valor del h vamos a hacer eso nos quedaría que h cuadrada h cuadrada es igual a cuadrada menos x al cuadrado déjame abrir un paréntesis para escribir esta expresión x al cuadrado y sx es se cuadrada más a cuadrada menos menos b cuadrada entre 2 c pero esto está h cuadrada y nosotros queremos h así que voy a sacar una raíz cuadrada de ambos lados nos quedaría que h es igual a la raíz cuadrada de a cuadrada a cuadrada menos aquí va este paréntesis grande grande elevado al cuadrado dividido entre el denominador es 12 y arriba nos queda se cuadrada más cuadrada menos b cuadrada muy bien y con eso obtenemos el valor de h ahora sí podemos regresar a determinar el área déjame ponerle aquí abajo área otra vez área área y eso nos queda igual a un medio de c x este valor de h que encontramos lo voy a poner acá no quedaría un medio de c por la raíz cuadrada de a cuadrada menos abro paréntesis aquí va a quedar elevado al cuadrado se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada y eso dividido entre dos veces c y esto está súper padre ya tenemos una expresión del área en términos de los lados de a b y c esto ya es un muy buen paso para avanzar hacia asia hacia la fórmula de heron de hecho esto básicamente es la fórmula deron es una expresión equivalente a lo mejor no parece la fórmula de heron pero después de algunas manipulaciones algebraicas vamos a obtener la fórmula que vimos en el vídeo pasado sale ahora una cosa buena es que esto ya es una fórmula que depende únicamente de a b y c entonces si quisieras si te dieran ganas de aprender de esta fórmula que se ve un poco más fea ya ya podrías encontrar el área de un triángulo conociendo sus lados vale bueno vamos a dejar la simplificación algebraica para el próximo vídeo pero lo que vamos a hacer ahorita es ver que vamos avanzando bien comprobando que obtenemos la misma área para el triángulo del vídeo pasado utilizando esta fórmula de acá vale bueno entonces déjame poner el triángulo del vídeo pasado era un triángulo más o menos así y algo de este estilo donde dijimos que los lados medían 9 11 y 16 y 16 sale y según la fórmula de heron que utilizamos en el vídeo pasado nos quedaba que el área era 18 raíz de 7 lo que vamos a hacer es ver si esta misma fórmula que obtuvimos a partir de los teoremas de pitágoras y esta fórmula de área nos da la misma área vale entonces déjame hacer las sustituciones en esta fórmula de acá lo voy a poner aquí abajo en color amarillo en el color amarillo el área es igual a un medio de c 616 entonces es igual a 8 x la raíz cuadrada voy a necesitar aquí espacio de a al cuadrado o sea 81 9 al cuadrado es 81 - aquí va un paréntesis grande elevado al cuadrado menos sé cuadrada se cuadra de 16 al cuadrado osea 256 más cuadrada o sea más 81 81 -11 al cuadrado o sea 121 dividido entre dos veces c o sea entre 2 por 16 entre 32 bueno déjame simplificar un poco esto nos quedaría que el área es igual a 8 veces la raíz cuadrada de 81 - y vamos a ver que queda dentro del paréntesis dentro del paréntesis queda 256 más 81 menos 121 81 menos 121 es menos 40 entonces nos queda 216 216 dividido entre 32 y eso tenemos que elevarlo al cuadrado si te das cuenta aquí la aritmética las cuentitas van a salir muy difíciles pero ya le avanzamos bastante déjame meter esto en la calculadora para ver si obtenemos lo mismo que aquí arriba entonces voy a sacar la calculadora déjame ponerla por aquí y vamos a ver primero cuánto es 18 raíz de 7 18 por la raíz cuadrada raíz cuadrada de 7 eso es 47 puntos 62 35 ok ese es el área que obtuvimos en el vídeo pasado ahora vamos a ver cuál es el área que obtuvimos utilizando esta fórmula a la cual ya le avanzamos nos quedaría 88 multiplicado por la raíz cuadrada de 81 - y aquí hay que abrir parientes paréntesis 216 dividido entre 32 cierro paréntesis eso lo elevó al cuadrado y cierro la raíz cuadrada y nos queda lo mismo 47.62 35 entonces esta es una muy buena indicación y de hecho está padre que haya salido lo mismo porque porque a lo mejor cometió un error pero bueno ya vimos que no lo hice entonces esto en efecto nos dice que vamos por buen camino para demostrar la fórmula la fórmula de heron vamos a ver cómo a partir de algunas cuentas simplificamos esta expresión a la del vídeo pasado que es más fácil de memorizar y está más bonita vale nos vemos en el próximo vídeo