Demostración de la fórmula de Herón (parte 2)

en el vídeo anterior mostramos que esta es la fórmula para el área de un triángulo que tiene lados de medidas a b y c y además afirme que esta fórmula era equivalente a la fórmula de heron lo que vamos a hacer en este vídeo es ver que efectivamente esto se reduce a la expresión sencilla que te mostré hace un par de vídeos y para esto vamos a utilizar el teorema de pitágoras y un poco de álgebra espeluznante pero no te preocupes al final va a ser muy satisfactorio ver como algo tan complicado se reduce a algo tan simple muy bien déjame empezar con este un medio de c este un medio d se lo voy a meter a esta raíz y para eso tengo que hacer lo siguiente tengo que notar que un medio de c es lo mismo es igual a la raíz cuadrada de c medios elevado al cuadrado la raíz y el cuadrado se cancelan y esto de aquí es igual a la raíz cuadrada de cea al cuadrado dividido entre 4 muy bien vamos a utilizar esto para reescribir esta expresión de esta forma tenemos que el área a ponerle nada más a es igual a y en vez de escribir la raíz por todas partes déjame simplemente poner aquí raíz raíz para poder meter lo demás en un paréntesis entonces área es igual a la raíz de y aquí dentro del paréntesis tengo que poner un medio de c pero aquí adentro o séase cuadrado entre 4 cuadrada entre 4 x esta expresión y esta expresión déjame marcarla en color verde para que el álgebra quede más bonita entonces sería al cuadrado menos se cuadrada más a cuadrada menos be cuadrada dividido entre dos veces c eso de ahí elevado al cuadrado y cerramos este paréntesis de acá y el paréntesis de la raíz muy bien ahora lo que voy a hacer es distribuir este ese cuadrado entre cuatro en este paréntesis de esta forma nos quedaría que el área es igual es igual a la raíz la raíz de sería se cuadrado entre 4 por cuadrada lo voy a poner en verde se cuadrada por a cuadrada dividido entre 4 eso es este por este menos menos se cuadrado entre 4 se cuadra da entre 4 / esta expresión déjame desarrollarla la voy a poner como el numerador al cuadrado se se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada eso de ahí elevado al cuadrado dividido entre 2 sea al cuadrado o sea 4 c cuadrado muy bien voy a cerrar el paréntesis de acá y vamos a simplificar un poco observa que se cuadrada se cancela con c cuadrada aquí está en el numerador y aquí en el denominador 4x4 es 16 pero en vez de poner 16 déjame ponerlo como 4 al cuadrado ahorita va a saber por qué entonces vamos a pasar este renglón nos quedaría que el área es igual a la raíz a la raíz de la raíz de y observa esto es una expresión al cuadrado esto es separa entre 2 al cuadrado entonces lo voy a poner así por a entre 2 al cuadrado y a eso le voy a restar y ve que esto de acá también es una expresión al cuadrado por eso puse 4 al cuadrado sería c cuadrada masa cuadrada menos b cuadrada entre 4 y todo eso elevado al cuadrado lo voy a apuntar por acá ese cuadrado de cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada dividido entre 4 y todo eso elevado al cuadrado al cuadrado muy bien déjame cerrar el paréntesis de la raíz y observemos que ahora tenemos la resta de dos cuadrados tenemos una expresión de la forma x al cuadrado menos y al cuadrado y eso es una diferencia de cuadrados que sabemos cómo factorizar x al cuadrado menos llega al cuadrado es igual a x + x x y entonces vamos a aplicar esta fórmula de hecho la vamos a utilizar repetidas veces así que tenga en mente aquí este sería x separa entre 2 y esta expresión dentro del paréntesis sería y de esta forma nos queda que esto es igual es igual igual a la raíz y aquí vamos a poner x + quedaría c por a dividido entre dos más se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada dividido entre cuatro y eso x x ya que sería separa dividido entre 2 - se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada entre 4 muy bien vamos a seguir trabajando con esta expresión lo que vamos a hacer ahora es efectuar esta suma y esta resta de fracciones vamos a hacerlo parte por parte le voy a poner aquí raíz de y vamos primero con esta suma de fracciones de fracciones el denominador común es 4 tenemos que encontrar un denominador común para para para poder sumar la verdad entonces notamos que es 4 así que nos quedaría poner la rayita un poco más acá nos quedaría aquí el 4 para pasar esta fracción a cuartos hay que multiplicar el numerador por 2 sería dos veces sea más se cuadrada masa cuadrada menos b cuadrada muy bien y voy a hacer lo mismo con esta expresión también el denominador común es 4 multiplicamos este numerador por 2 nos quedaría 2 veces sea menos se cuadrada a que hay que tener cuidado - se cuadrada menos a cuadrada menos al cuadrado más b cuadrada b cuadrada excelente y aquí lo que tenemos que hacer es darnos cuenta que aparece una expresión especial estar acá 12 a más e cuadrada más a cuadrada esta expresión es más b al cuadrado a más elevado al cuadrado y está acá es algo parecido pero cuidando los signos sería menos - ce elevado al cuadrado si quieres puedes efectuar las operaciones para verificar que en efecto estas expresiones son estas dos que puse entonces nos quedaría que el área es igual a la raíz la raíz de y vamos a poner las expresiones con con estos cambios vale sería además b al cuadrado más b al cuadrado menos a perdona que además sea al cuadrado verdad qué bueno que me di cuenta además sea al cuadrado aquí también sería a más sea al cuadrado déjame borrarle para borrarle porque sería a más que bueno que me di cuenta porque si no luego no nos iba a salir entonces esa masa al cuadrado menos b al cuadrado dividido entre 4 x y voy a poner b cuadrada b cuadrada menos a menos sea al cuadrado a menos ea al cuadrado dividido entre 4 vale déjame cerrar el paréntesis y observa que una vez más aparecen estas expresiones diferencias de cuadrados aquí tenemos un cuadrado menos otro y aquí un cuadrado menos otro entonces podemos reescribir todo esto como la raíz la raíz de la siguiente expresión ya vamos a hacer todas las multiplicaciones voy a ponerlo de adentro con verde vamos a hacer las multiplicaciones 4 x 4 es 16 entonces aquí quedaría 16 pero fíjate lo voy a poner como 2 por 2 por dos por dos ahorita va a saber por qué entonces nos quedaría imagínate que este es x y este sería x + qué es simplemente cambie tantito el orden luego sería x x a más v x ahora es este con este verdad x + sería b b más o menos c x este menos éste ve - a menos eso es lo mismo que ve más menos a muy bien voy a extender tantito la línea de la fracción cerramos el paréntesis de la raíz y ahora sí vamos a separar cada uno de estos entonces nos quedaría que es igual a la raíz a la raíz de lo siguiente d entre 2 y que entonces es a b c entre 2 x ac - b entre 2 y se ve entre 2 x además ve - entre 2 b - c entre 2 y x b más c menos a entre 2 y esto ya se empieza a parecer un poco un poco más a la fórmula de geron vamos a hacer los siguientes cambios observa observa que esta expresión se ve también la podemos poner como a más ve más o menos dos veces ve ve - 2b - b de manera similar además bm se está más ve más c menos dos veces c y ve más o menos a es a b c menos dos veces a dos veces a saleh entonces vamos a reescribir utilizando estas expresiones nos quedaría que es igual el área es igual a la raíz la raíz de lo siguiente vamos a ver vamos a vamos a prepararnos es más ve más entre 2 a b c entre 2 vale esto lo voy a poner así entre paréntesis x y ahora vamos a poner esta expresión más se ha dividido entre dos menos dos veces b entre dos sería menos b - b de manera similar éste es más ve más c entre 2 menos a porque es 12 entre 2 - perdón menos c 1 c y estoy acá sería además menos a porque es 2a dividido entre dos o más b más dividido entre dos menos a y esto es exactamente la fórmula de heron solo que recuerda que para la fórmula de heron habíamos definido que ese era el semi perímetro la mitad del perímetro a más b más dividido entre 2 y claramente claramente haciendo la sustitución con esta variable nos queda que el área es igual a la raíz a la raíz de ese s voy así en color rosa está bien s x s b x s menos y x s menos s - ah y si recuerdas esto de aquí es exactamente la fórmula que di en el primer vídeo acerca de la fórmula de heron está padrísimo no crees bueno nos vemos en siguientes vídeos