Ejemplo de centroide y mediana

vamos a resolver este problema nos dan la información de que hay es igual a 12 entonces de aquí para acá es igual a 12 nos dice también que ese es igual a 18 que s es igual a 18 y además tenemos más información aquí en el diagrama tenemos que a ese es un ángulo recto tenemos que a de hebe y cf son medianas y eso lo podemos ver porque los puntos a donde llegan dividen en dos segmentos de igual longitud a b igual abc se de igual a d e y f igual a efe a entonces por eso son medianas y tenemos aquí el punto g que es el punto de intersección de las medianas y por lo tanto el centro del triángulo y además a este punto h que está un poco raro pero al parecer es la proyección de g sobre el lado bueno con toda esa información que nos dan nos piden determinar algunas cosas empiezan diciéndonos que encontremos el área del triángulo b g c entonces déjame marcar el área que nos interesa sería igual a esta área naranja de por acá entonces queremos determinar esa área pero eso va a ser más o menos sencillo porque si te das cuenta este triángulo es uno de los seis triángulos en los que queda dividido a ese al trazar las medianas y como ya vimos en un vídeo anterior todos esos triángulos tienen la misma área y entonces cada uno de esos triángulos va a tener un sexto del área total del triángulo vale entonces vamos a empezar calculando el área total del triángulo entonces déjame poner aquí el área del triángulo a ese a ese es igual a y ésta está fácil porque es triángulo rectángulo y tenemos la base y la altura entonces es igual a un medio de la base que es 18 por la altura que es igual a 12 esto de aquí es igual a un medio por 18 es 9 y 9 por 12 108 ok entonces el área del triángulo s es igual a 108 y con eso podemos encontrar el área del triángulo wgc porque es una sexta parte entonces tenemos el área del triángulo b g b g c esa de ahí es igual a sexto del área del triángulo a s el área del triángulo a s y por lo tanto es igual a un sexto de 108 que es igual a un sexto de 108 me parece que es igual a 18 eso tiene sentido sí claro porque porque de hecho a ese también es 6 por 18 entonces si dividimos entre 6 quedan 18 bueno entonces ya tenemos el área del triángulo bgs esta de aquí está de aquí es igual a 18 déjame ponerlo por acá y de hecho ya tenemos el área de un montón de triángulos verdad tenemos que estar acá también es 18 estas 18 esta es 18 esto es 18 y también el de fg es 18 vale todo el triángulo fg tiene área 18 pero no lo voy a poner para que nos encima mucho bueno entonces ya tenemos la primera pregunta vamos a la segunda queremos determinar la longitud de aje de aje pero eso justo en la distancia del vértice hacia el centro y de y eso ya también sabemos cómo calcularlo ya sabemos que esa distancia esa distancia es 2 de la distancia total hasta el punto medio entonces es dos tercios de la longitud de la mediana así que si logramos encontrar la longitud de la mediana pues ya vamos a estar muy cerca de encontrar a g vale y para encontrar la longitud de la mediana nos vamos a dar cuenta que es la hipotenusa del triángulo rectángulo a d y en el triángulo at tenemos todo lo que necesitamos uno de los catetos mide 12 y el otro de los catetos mide la mitad de 18 es decir mide 9 déjame ponerle por aquí que mide 9 muy bien entonces vamos a aplicar el teorema de pitágoras en el triángulo ade y con eso tenemos que ade al cuadrado es igual a 9 al cuadrado más 12 al cuadrado 9 al cuadrado es 81 12 al cuadrado de 144 y por lo tanto a d al cuadrado es igual a 225 y así tenemos que aden adde es igual a la raíz de 225 que bueno a lo mejor no te las cepas pero la puedes calcular y queda 15 vale entonces a d es igual a 15 y ojo estamos usando la raíz positiva porque no tiene sentido utilizar la raíz negativa en un problema de distancias bueno entonces ade es igual a 15 a d es igual a 15 y así a g ag que era lo que nos interesaba ag es igual a dos tercios de a de dos tercios de ade porque sabemos que el centro le queda a dos tercios de la distancia del vértice al punto medio y entonces esto es igual a dos tercios de 15 15 entre 13 es el 5 por 2 es y es entonces es igual a 10 así tenemos que aje es igual a 10 lo voy a apuntar por acá y lo voy a poner aquí arriba con color verde sale entonces ag es igual a 10 y finalmente nos piden determinar el área del triángulo fh f g h entonces sería determinar esta área que estoy pintando en blanco bueno pues para determinar el área de un triángulo y este pues basta conocer su base y su altura entonces vamos a encontrar efe h vamos a encontrar fh y gh g h y hay varias formas de encontrar cualquiera de los dos déjame empezar con gh vamos a hacer un truco y vamos a pensar a gh como altura del triángulo efe g saleh entonces mira vamos a calcular el área del triángulo fg y el área del triángulo fg es igual a un medio un medio de la base que sería efe pero nosotros ya sabemos que f es la mitad de 12 vale entonces aquí sería 6 entonces el área del fg es un medio de 6 x la altura que justo es gh x g h pero nosotros también sabemos el área de fg porque justo es uno de los seis triangulitos que quedan cuando trazamos las tres medianas entonces el área de fg es igual a 18 esto de aquí es aquí igual a 18 y por lo tanto nos queda lo siguiente nos queda que 1818 es igual a 3 x gh gh y dividiendo entre 3 de ambos lados nos queda que gh gh es igual a 6 vale entonces con eso ya tenemos tenemos la longitud de gh y voy a poner aquí que es 6 muy bien pero también necesitamos la de fh antes de pasar a la de fh déjame contarte que había otra forma de obtenerla de gh observa que los triángulos a hg y a efe parecen ser semejantes porque tienen el ángulo recto y el ángulo de acá bueno de hecho esa es la prueba verdad entonces sus lados correspondientes son proporcionales pero sabemos que a g entre a d es igual a dos tercios de esta forma a hg / edh también debe ser dos tercios y por lo tanto hg hg que es lo que acabamos de calcular debe ser dos tercios de nueve y bueno dos tercios de nueve vuelve a quedar seis vale entonces esa es otra forma entrar a hg bueno pero ese mismo argumento lo vamos a utilizar para encontrar fh solo que no lo vamos a utilizar sobre f h sino sobre a h si logramos determinar la longitud de h de a h entonces habremos terminado porque bastaría restar estos 6 los 6 que van de a a efe vale entonces voy a marcar todo eso por aquí aquí son 6 subimos para acá entonces estos son 6 si encontramos a h y le restamos 6 tendremos fh muy bien entonces vamos a utilizar justo el argumento que di para la forma alternativa de encontrar hg observemos que los triángulos a hg y ed son semejantes porque tienen el ángulo recto y el ángulo en común y entonces vamos a aplicar este las razones de semejanza que nos dan vamos a utilizar las razones de semejanza que tenemos y entonces tenemos que h / a no voy a poner por aquí a h / a pero a emi de 12 es igual es igual a g / a de iguala a g g / a de pero nosotros ya sabemos que a g / d es igual a dos tercios estoy aquí es igual a dos tercios verdad ese es el resultado que probamos hacia algunos vídeos o bien podemos usar que aje es 10 y a veces 15 y así multiplicando por 12 de ambos lados nos queda que h es igual a 12 por 2 que es 24 entre 3 que es igual a 8 muy bien entonces tenemos que a h es igual a 8 todo esto de acá es igual 8 muy bien pero conociendo a h podemos restar a efe y con eso tenemos que f h es igual a 25 efe hs 86 entonces f h es igual a 2 y bueno con esto ya podemos determinar el área de fhg simplemente el área de fhg que la voy a poner por acá el área de efe hg es igual es igual a un medio de fh que es 2 por gh que 6 entonces el área que nos piden es igual a 6 y listo con esto terminamos y con esto resolvemos los tres problemas que nos pide este ejercicio