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3° Secundaria

Curso: 3° Secundaria > Unidad 9

Lección 2: Calcular la desviación estándar
Matemáticas
3° Secundaria
Probabilidad y estadística
Calcular la desviación estándar
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Calcular la desviación estándar paso a paso

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Introducción

En este artículo aprenderemos a calcular la desviación estándar "a mano".
Curiosamente, ningún estadístico calcularía la desviación estándar a mano en el mundo real. Los cálculos requeridos son un tanto abstractos y el riesgo de cometer un error es alto. Asimismo, calcularla a mano es lento, muy lento. Es por eso que los estadísticos confían en hojas de cálculo y programas de computadora para procesar grandes cantidades de números.
Entonces ¿cuál es el punto de este artículo? ¿Por qué estamos ocupando tiempo en aprender a realizar un proceso que ni los estadísticos usan? La respuesta es que aprender a realizar este proceso a mano nos da una idea de cómo funciona realmente la desviación estándar. Este conocimiento es muy valioso. En lugar de ver a la desviación estándar como un número mágico que nuestras hojas de cálculo o programas de computadora nos dan, podremos explicar de dónde sale ese número.

Panorama general sobre cómo calcular la desviación estándar

La fórmula de la desviación estándar (DE) es:
DE=∑|x−μ|2N
donde ∑ significa "suma de", x es un valor de un conjunto de datos, μ es la media del conjunto de datos y N es el número de datos.
Puede parecer que la fórmula de la desviación estándar es confusa, pero tendrá sentido después de que la desglosemos. En las secciones subsecuentes explicaremos un ejemplo interactivo, paso a paso. Aquí hay una rápida vista previa de los pasos que estamos a punto de seguir:
Paso 1: calcular la media.
Paso 2: calcular el cuadrado de la distancia a la media para cada dato.
Paso 3: sumar los valores que resultaron del paso 2.
Paso 4: dividir entre el número de datos.
Paso 5: sacar la raíz cuadrada.

Una observación importante

La fórmula anterior es para encontrar la desviación estándar de una población. Si estás tratando con una muestra, querrás usar una fórmula ligeramente diferente (abajo), en la que se utiliza n−1 en lugar de N. Pero, la idea de este artículo es que te familiarices con el proceso del cálculo de la desviación estándar, que es básicamente el mismo independientemente de qué fórmula uses.
DEmuestra=∑|x−x¯|2n−1

Ejemplo interactivo paso a paso para calcular la desviación estándar

Primero necesitamos un conjunto de datos con el cual trabajar. Elijamos algo pequeño que no nos abrume por el número de datos. Este es uno bueno:
6,2,3,1

Paso 1: obtener μ en ∑|x−μ|2N

En este paso calculamos la media del conjunto de datos, la cual está representada por la variable μ.
Rellena el espacio en blanco.
μ=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Paso 2: obtener |x−μ|2 en ∑|x−μ|2N

En este paso, calculamos la distancia de cada dato a la media (es decir, las desviaciones) y elevamos cada una de esas distancias al cuadrado.
Por ejemplo, el primer dato es 6 y su media es 3, por lo que la distancia entre ellos es igual a 3. Elevarla al cuadrado nos da 9.
Completa la tabla siguiente.
Dato xCuadrado de la distancia a la media |x−μ|2
69
2
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
3
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
1
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Paso 3: obtener ∑|x−μ|2 en ∑|x−μ|2N

El símbolo ∑ significa "suma", por lo que en este paso sumamos los cuatro valores que calculamos en el paso 2.
Rellena el espacio en blanco.
∑|x−μ|2=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Paso 4: obtener ∑|x−μ|2N en ∑|x−μ|2N

En este paso dividimos el resultado del paso 3 entre la variable N, que es el número de datos.
Rellena el espacio en blanco.
∑|x−μ|2N=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Paso 5: calcular la desviación estándar ∑|x−μ|2N

¡Ya casi terminamos! Solo saca la raíz cuadrada de la respuesta obtenida en el paso 4 y listo.
Rellena el espacio en blanco.
Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Desviación estándar=∑|x−μ|2N≈
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

¡Sí! ¡Lo logramos! Calculamos satisfactoriamente la desviación estándar de un conjunto de datos pequeño.

Resumen de lo que hicimos

Descompusimos la fórmula en cinco pasos:
Paso 1: calcular la media μ.
μ=6+2+3+14=124=3
Paso 2: elevar al cuadrado la distancia entre cada dato y la media |x−μ|2.
x|x−μ|2
6|6−3|2=32=9
2|2−3|2=12=1
3|3−3|2=02=0
1|1−3|2=22=4
Steps 3, 4, and 5:
DE=∑|x−μ|2N=9+1+0+44=144        Suma el cuadrado de las distancias (paso 3).=3.5        Divide entre el número de datos (paso 4).≈1.87        Saca la raíz cuadrada (paso 5).

Prueba tú mismo

Aquí tienes un recordatorio de la fórmula:
DE=∑|x−μ|2N
Y aquí hay un conjunto de datos:
1,4,7,2,6
Calcula la desviación estándar del conjunto de datos.
Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Desviación estándar=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

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