Ejemplos resueltos: formas y características de funciones cuadráticas

a continuación se muestra la función fx en tres formas equivalentes selecciona la forma que más fácilmente revela la intersección de la gráfica de igual fx con el eje y así que recordemos un poco si tengo por aquí la gráfica de igual fx déjame hacerla por aquí esta va a ser la gráfica de james igual a efe de x y observamos que es una función cuadrática déjame ver es una función cuadrática por lo tanto se va a ver como una parábola y de hecho es una palabra que abre hacia arriba así que se va a ver más o menos así voy a tener por aquí a mí para hablar que abre hacia arriba y yo sé que es una palabra que abre ser iván porque el coeficiente que está al lado de la equis cuadrada es positivo lo que nos está diciendo que tenemos una palabra que abre hacia arriba entonces nos preguntan dónde inter secamos con el eje de leyes justo por aquí eso quiere decir que estamos diciendo hey cuál es el valor de que cuando x vale 0 es justo lo que nosotros buscamos y bueno esto se va a reducir a qué tan rápido podemos evaluar la función en cero cuánto vale f x cuando x es igual a cero y como estas tres opciones son formas equivalentes entonces la función f está dada en tres diferentes formas en esta o en esta o en esta eso quiere decir que deberíamos de ser capaces de manipular algebraica mente cada una de estas para obtener las otras dos ahora bien veamos si quiero evaluar efe de cero en mi primera opción bueno aquí me quedaría a cero este no puede sustituir por cero y me quedarían seis elevado al cuadrado eso por tres y después restarle 75 lo cual se puede hacer se puede calcular pero supongo que hay una forma más fácil para encontrar cuánto vale efe de cero así que en definitiva esta no es la opción correcta en nuestra segunda opción buena observa si sustituyó a x x 0 esto se va esto se va y me quedaría la multiplicación de 3 por 1 por 11 lo cual parece ser más rápido que la opción número uno pero tampoco creo que sea la opción correcta porque al final estamos haciendo un cierto cálculo la multiplicación de 3 por 11 sin embargo en nuestra última opción en esta de aquí que por cierto se le conoce como la forma estándar déjame escribirlo si sustituyó el valor de x por 0 este término se va este término se va y simplemente me quedo con 33 entonces esta es la forma estándar la forma estándar fue por mucho la más fácil para saber dónde estamos intersectando me aleje de las 10 voy a tachar esta porque fue la forma más fácil para ver donde encontramos la intersección con el eje y y después nos dice cuál es intersección de efe con el eje y bueno la intersección con el eje y es cero como 33 déjame ponerlo 33 ahora te voy a hacer un consejo para que tengas precaución a veces deberían de ver lo que se le conoce como la forma vértice que es esta que tenemos aquí es más déjame anotarlo la forma vértice está como vamos a ver en el siguiente ejercicio en la forma más fácil para averiguar cuál es el vértice de mi parábola sin embargo hay que tener cuidado porque tal vez esté menos 75 se parezca a este 33 porque son términos libres y entonces éste es tentado a decir si quiero saber cuánto es efe de 0 bueno canceló todo esto que tengo aquí y me quedo simplemente con el menos 75 pero qué creés hay que ser muy cuidadosos aquí porque eso no es cierto cuando x vale 0 solamente esto de aquí es lo que vale 0 como vimos lo podemos cancelar y me quedo adentro del paréntesis con el 6 en este y como dije tendremos 6 al cuadrado por 3 y a eso habrá que quitarle 75 así que en definitiva efe de 0 no es menos 75 y es por eso que quería decirte que tengas mucho cuidado con esta forma vértice y bueno justo por esto la mejor forma es la forma estándar para resolver este primer problema es por eso que elegimos esta opción y no la forma beltzer de la forma factorizar déjame escribir que esta es la forma factorizar que como te puedes imaginar sirve bastante bien para encontrar los ceros de la función así que bueno hagamos otro ejemplo y para eso déjame quitar este problema que tengo aquí y ahora vamos a trabajar con este que dice a continuación se muestran la función mx ahora tengo la función mx en tres formas equivalentes selecciona la forma que más fácilmente revela el vértice de la gráfica y igual x y observa esta vez estamos buscando el vértice y bueno justamente hace rato estábamos diciendo que esta era la forma vértice y porque es la forma verse bueno porque podemos obtener de una manera sencilla el bet sep y eso va a ser cuando esta parte de aquí está parte de aquí sea igual a 0 y como se eso bueno lo que pasa es que te tienes que acostumbrar a esta forma vértice y después vas a ver todo mucho más claro y va a ser más natural para ti en este caso observa tenemos una parábola que abre hacia arriba se ve más o menos así una parábola que abra hacia arriba y por lo tanto albert se observa es el punto mínimo estamos buscando ahora este punto mínimo y como pueden ver aquí x menos 1 al cuadrado siempre te va a dar algo mayor o igual a 0 siempre va a ser positivo o lo menos que puede valer es 0 y si después lo multiplicas por un 4 se va a mantener positivo ahora como este es un punto mínimo observa que cualquier cosa que le sumes a 36 me va a dar un punto más alto porque menos 36 más algo positivo siempre va a ser más grande que menos 36 y queremos el valor mínimo entonces si el vértice es este el punto de aquí nuestro punto mínimo nosotros vamos a estar interesados en cuando en esta parte de eclip es igual a cero y esto es igual a cero cuando el gesto más valor de uno cierto uno menos 10 al cuadrado es 0 por 40 y entonces solamente me quedo con el valor mínimo de menos 36 y por lo tanto ya puedo decir que el vértice va a ser el punto 1 coma y bueno m de uno como ya vimos es menos 36 entonces menos 36 este es ni vértice y todo esto lo estamos viendo gracias a la forma vértice esta es la forma más sencilla para poder ver dónde encontramos el vértice y es que observa estas otras dos también nos pueden decir dónde encontrar el vértice pero es un poco más difícil de hecho la más difícil es esta estándar ya que aquí lo que aconsejaría es primero completar el cuadrado y realizar otras técnicas para que podamos llegar a la forma factor izada y ya que estemos en la forma factor izada encontremos los ceros de esta parábola me van a quedar dos puntos que son las intersecciones con el eje x y ya que tenemos estas intersecciones entonces buscar el punto medio entre ellas dos que va a ser el punto equidistante a estas dos raíces y después tomar la coordenada x de ese punto medium y buscar el vértice pero observa en definitiva esa es la forma más fácil para encontrar el vértice así que cuál es el vértice bueno el vértice toma como coordenadas 1 coma menos 36 de lujo y ya sabemos que es un mínimo entonces lo voy a tachar y qué te parece si hacemos un último problema para esto voy a quitar esta pantalla y vamos a traer el siguiente problema qué es este de aquí dice a continuación se muestra la función gdx ahora vamos a trabajar con una función llamada gdx en tres formas equivalentes selecciona la forma que más fácilmente revela los ceros ahora estoy buscando los ceros o las raíces de esta función de x así que una vez más cuando estamos hablando de ceros o raíces si tenemos este como el eje x entonces al ver una parábola que abra hacia arriba se ve más o menos así y las raíces o los ceros son los valores de x que hacen a esta función igual a cero son los valores de x que nos dan las intersecciones en x podrías verlo así entonces cuál de estas formas es más fácil para encontrar cuando la función es igual a cero bueno pues podrías expandir estas dos y después buscar cuando esta función es igual a cero pero la más fácil para identificar los ceros es la forma factor izada que es esta que tenemos aquí esta de aquí porque es muy fácil encontrar de aquí cuando esta función es cero si nos tomamos lo que está dentro de este paréntesis igual a cero o lo que está dentro de este otro paréntesis igual a cero y observa aquí si x toma el valor de menos uno entonces este paréntesis sea cero o en su dado caso si tomamos a x con el valor de menos 7 porque entonces este segundo paréntesis se hace igual a 0 y al tomar el valor de x igual a menos 1 o el valor de x igual a menos 7 entonces toda esta expresión se hace igual a cero así que esta forma factor izada es la forma más fácil y más rápida para poder encontrar los ceros de una función y es que observa si nos fijamos en esta primera tenemos la forma a ver si podemos encontrar los ceros si hacemos menos dos que multiplican 4 esto elevado al cuadrado más 18 esto igual a 0 y se nota que es la que tiene más trabajo para encontrar los ceros así que si podemos encontrar los ceros pero yo la descartaría como la forma más rápida para encontrar lo que buscamos y esta tercera opción la forma estándar bueno lo que yo haría es lo que se me ocurre es factorizar para llegar a la forma factor izada y así poder encontrar los ceros por lo tanto tendría que trabajarla un poco más para llegar a lo que ya tenemos en la forma factor izada y por lo tanto tampoco es la respuesta correcta porque es más trabajo que lo que obtuvimos en esta segunda opción así que en definitiva la forma factor izada es la mejor opción y después me preguntan cuál sería uno de los ceros deje de x bueno ya vimos que tenemos estos dos ceros entonces puede hacer el valor de x igual a menos uno o también podrías escribir el valor de x igual a menos 7