Problema verbal de ecuaciones cuadráticas: dimensiones de una caja

Este problema dice lo siguiente, el volumen de una caja es de 405 unidades cúbicas, el largo de la caja tiene "x" unidades y el ancho de la caja tiene "x" más 4 unidades y su altura es de 9 unidades. En unidades ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? Y bueno me dicen unidades cúbicas pero pueden ser centímetros, metros, este... kilómetros cúbicos, no lo sé, pero son unidades cúbicas por que estamos hablando de que estamos en 3 dimensiones, porque queremos el volumen de una caja. Así que déjenme dibujarla y déjame poner lo que tenemos. Tenemos que el largo de la caja vale "x" así que voy a suponer que este es el largo, el ancho de la caja es "x" más 4 así que este es "x" más 4 y su altura vale 9 y además nos dicen que queremos saber las dimensiones de la caja y que el volumen de la caja es de 405 unidades cúbicas. Entonces déjame ponerlo así, no, no, no... mejor déjame ponerlo así ¿Cómo sacamos el volumen de una caja? Pues es ancho que es "x" más 4 que multiplica al largo que es "x" y esto a su vez, multiplica al alto que es 9 entonces me queda "x" más 4, por "x" por 9, y esto tiene que ser igual ç pues al volumen de la caja, ¿cuánto vale el volumen de la caja? El volumen de la caja es 405 unidades cúbicas. Y lo que tenemos que hacer es resolver esta ecuación para "x" pero si te das cuenta, lo primero que quiero que veas es que esta ecuación no está igualada a 0 por lo tanto, primero voy a multiplicar 9 por "x" y me quedan 9x que multiplica a "x" más 4 es igual a 405, después voy a distribuir este 9x por el bx más 4, me queda 9x cuadrada más 36x igual a 405 y para igualarla a 0, lo que voy a hacer es restar de ambos lados de la ecuación 405. Recuerda que cuando tenemos una ecuación cuadrática, la mejor forma de resolverlo es igualarla a 0 por lo tanto -405, -405 y aquí me va a quedar 0 ¡Perfecto! Es justo lo que queríamos y del lado izquierdo me queda 9x cuadrada más 36x menos 405, y bueno, ahora, ¿cómo resuelvo esta ecuación cuadrática? Si te das cuenta todos estos números son divisibles entre 9, por lo tanto voy a dividir todo entre 9 405 entre 9? Déjame hacerlo por acá arriba, para ver que nos queda de dividir pero ¿cuánto es 405 entre 9? ¿Cuál es el resultado? 9 va a dividir a 405 y dice así, 40 entre 9 es 4 4 por 9 es 36 y sobran 4 entonces 36, y van a sobrar 4 y bajo el 5, y después me queda 45 cabe 5 veces en 9 5 por 9 es 45 y si lo resto me queda 0, es exacta como les decía. Entonces todo esto es divisible entre 9 y esto es lo mismo que poner 9 que multiplica a "x" cuadrada... no esperen, esperen, esperen... Creo que hay una forma mucho más fácil de resolver esto. Voy a dividir todo entre 9, en lugar de factorizar el 9 entre 9, entre 9, entre 9 y entre 9, es decir me estoy ahorrando un paso, por que si yo factorizara el 9, lo único que iba a hacer, era tardarme 2 pasos más, así que mejor de una vez. Divido todo entre 9, 9 entre 9 se va y me queda "x" cuadrada. Quiero que veas que estoy dividiendo todo entre 9, la idea es para simplificar las cosas, porque factorizar 9x cuadrada más 36x menos 405 no se ve nada sencillo, sin embargo si divido todo entre 9, se ve mucho más fácil de resolver esta ecuación, me va a quedar, "x" cuadrada más 4x por menos 45 igual a 0. Y por lo tanto para factorizar esta ecuación, tengo que preguntarme por 2 números los cuales sumados, me van a dar 45, sumados o restados, y la multiplicación de ellos me va a dar -45, y bueno 45 lo podemos factorizar en 45 y una, ¿en quién más? 3 por 15 pero 3 por 15 no me funciona mucho, y 9 y 5 sí, 9 y 5. Por que si a 9 le quitamos 5 ó a 5 le quitamos 9 me da un 4 y 9 por 5 me da 45. Sólo hay que poner 1 positivo y 1 negativo, por lo tanto me va a quedar "x" más 9 por "x" menos 5 igual a 0. Fíjate que el 9 tiene que ser el positivo, para que mi resultado de mi suma de 9 más menos 5 me dé positivo que tiene que ser 4, 9 menos 5 es 4 positivo y 9 por menos 5 es -45 y entonces, tengo 2 binomios igualados a 0, y recuerden que esto quiere decir que o el primer binomio es igual a 0, ó en su dado caso el segundo binomio es igual a 0. 2 números multiplicados me dan 0 si el primero es 0 ó el segundo es 0, y después voy a resolver para cada uno de ellos. En el primero me queda que "x" es igual a -9, en el segundo voy a sumar 5 en ambos lados, y me va a quedar que "x" es igual a 5, y ya con esto resolví para "x". Ya sé cuáles son los valores de las raíces de esta ecuación cuadrática "x" igual a -9 y "x" igual a 5. Ahora, ¿qué "x" tomo? Podría tomar "x" igual a -9, pero si te das cuenta, si yo pongo -9 en este cubo, me va a quedar que un lado vale -5 que el otro lado vale -9, mientras que la altura vale 9 y eso está muy raro, porque no tenemos distancias negativas, yo no puedo hacer un cubo que tenga de lado -5 ó -9 por lo tanto, ésta no es opción. Me voy a quedar con la otra porque en éste me van a salir resultados positivos, "x" mas 4 es lo mismo que 5 más 4 que es 9, el otro lado va a medir 5 y la altura va a medir 9 y ya con esto tengo las dimensiones de la caja. Son 9 unidades de ancho, éste era el ancho, 5 unidades de largo, 5 unidades de largo y 9 unidades de altura, y vamos a comprobar que en efecto esto me da 405, 9 por 5 es 45 y 45 por 9, lo tenemos aquí arriba es 405.