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4° Secundaria

Curso: 4° Secundaria > Unidad 5

Lección 1: Razones trigonométricas
Matemáticas
4° Secundaria
Geometría: Razones trigonométricas, ángulos de elevación y depresión, y resolución de triángulos
Razones trigonométricas
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Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Google Classroom
Aprende cómo encontrar seno, coseno y tangente de ángulos en triángulos rectángulos.
Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo A como sigue:
El triángulo A B C con el ángulo A C B de noventa grados. El ángulo B A C es el ángulo de referencia. El lado B C está etiquetado como opuesto. El lado A C está etiquetado como adyacente. El lado A B está etiquetado como hipotenusa.
En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

SOH-CAH-TOA: una manera sencilla de recordar las razones trigonométricas

La palabra sohcahtoa nos ayuda a recordar las definiciones de seno, coseno y tangente. He aquí como funciona esto:
AcrónimoDescripción verbalDefinición matemática
S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, S, end texteno es start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textpuesto entre start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenusasine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
C, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, C, end textoseno es start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdyacente entre start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenusacosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #ed5fa6, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
T, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6start text, T, end textangente es start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textpuesto entre start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdyacentetangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #ed5fa6, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, end fraction
Por ejemplo, si queremos recordar la definición de seno, nos referimos a S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, pues seno empieza con la letra S. ¡La start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text y la start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text nos ayudan a recordar que seno es start text, start color #11accd, o, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text entre start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text!

Ejemplo

Supongamos que queremos determinar sine, left parenthesis, A, right parenthesis en triangle, A, B, C dado a continuación:
El triángulo A B C con el ángulo A C B de noventa grados. El ángulo B A C es el ángulo de referencia. El lado B C mide tres unidades. El lado A C mide cuatro unidades. El lado A B son cinco unidades.
Seno se define como la razón entre start text, start color #11accd, o, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text e start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text left parenthesis, S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, right parenthesis. Por lo tanto:
El triángulo A B C con el ángulo A C B de noventa grados. El ángulo B A C es el ángulo de referencia. El lado B C mide tres unidades. El lado A C mide cuatro unidades. El lado A B tiene cinco unidades. Los lados A B y B C están resaltados.
sin⁡(A)= opuesto  hipotenusa=BCAB=35\begin{aligned}\sin( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ opuesto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}
He aquí otro ejemplo en el que examinamos un problema similar.
Contenedor video de Khan Academy
Trigonometric ratios in right trianglesVer la transcripción del video

Practica

Triángulo 1: triangle, D, E, F
El triángulo D E F con el ángulo E D F de noventa grados. El lado D F mide doce unidades. El lado E F mide trece unidades. El lado D F mide cinco unidades.
cosine, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

sine, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

tangent, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Triángulo 2: triangle, G, H, I
El triángulo G H I con el ángulo G I H de noventa grados. El lado H I mide quince unidades. El lado I G son ocho unidades. El lado H G mide diecisiete unidades.
cosine, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

sine, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

tangent, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío
En el siguiente triángulo, ¿cuál de los siguientes es igual a start fraction, a, divided by, c, end fraction?
Un triángulo rectángulo con un ángulo de noventa grados, un ángulo de veinte grados y un ángulo de setenta grados. El lado opuesto del ángulo de veinte grados es una unidad. El lado opuesto al ángulo de setenta grados es b unidades. El lado opuesto al ángulo de noventa grados mide c unidades.
Elige todas las respuestas adecuadas:

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