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Contenido principal

Introducción a la propiedad asociativa de la multiplicación

Practica cambiar la agrupación de factores en problemas de multiplicación y observa cómo afecta al producto.

Agrupar números

La imagen muestra start color #01a995, 3, end color #01a995 renglones con start color #e07d10, 2, end color #e07d10 puntos en cada uno. Podemos usar la expresión start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 para representar el arreglo.
Esta imagen muestra el mismo arreglo de start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 copiado start color #7854ab, 4, end color #7854ab veces.
Usamos la expresión left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab para representar el arreglo.
Si contamos los puntos, obtenemos un total de 24.

Cambiar la agrupación

¿Obtendremos el mismo total si cambiamos los paréntesis de modo que los números estén agrupados de una manera diferente?
Vamos a reagrupar los números de modo que el start color #e07d10, 2, end color #e07d10 y el start color #7854ab, 4, end color #7854ab estén agrupados juntos: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
También podemos dibujar un arreglo para representar esta expresión. Vamos a empezar con start color #e07d10, 2, end color #e07d10 renglones con start color #7854ab, 4, end color #7854ab puntos en cada uno. Este arreglo muestra start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Ahora necesitamos copiar el arreglo start color #01a995, 3, end color #01a995 veces para representar la expresión start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Si contamos los puntos, seguimos obteniendo un total de 24.
¡Reagrupar no cambia la respuesta!
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

La propiedad asociativa

La regla matemática que nos permite reagrupar números en un problema de multiplicación sin cambiar la repuesta es la propiedad asociativa.
En el siguiente problema de multiplicación, vamos a agrupar los números de dos maneras diferentes y mostrar que obtenemos el mismo producto de ambas maneras.
5, times, 4, times, 2
Empecemos por agrupar el start color #11accd, 5, end color #11accd y el start color #11accd, 4, end color #11accd. Podemos evaluar la expresión paso a paso.
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
Ahora agrupemos el start color #7854ab, 4, end color #7854ab y el start color #7854ab, 2, end color #7854ab.
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Obtuvimos el mismo producto aunque los números estuvieron agrupados de maneras diferentes.
Las tres expresiones son equivalentes:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Intentemos algunos problemas

Problema 1
¿Cuáles expresiones son iguales a 6, times, 3, times, 4?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Ahora tratemos de evaluar una expresión de dos maneras diferentes.
Problema 2
Completa la información faltante para resolver la expresión left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, point
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ahora resuelve la misma expresión que se agrupó de una manera diferente.
Problema 3
Completa la información faltante para resolver la expresión 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 y
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Obtuvimos el mismo producto aunque agrupamos los números de dos maneras diferentes.

Expresiones equivalentes

Podemos usar la propiedad asociativa para encontrar expresiones que son equivalentes.
Empecemos con la expresión 2, times, 2, times, 5.
Podemos agrupar esta expresión de dos maneras diferentes de modo que ambas sean equivalentes a 2, times, 2, times, 5:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
Al evaluar cada expresión paso a paso podemos encontrar otras expresiones que también son equivalentes.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Así que nuestra expresión original, 2, times, 2, times, 5, también es equivalente a 4, times, 5 y 2, times, 10.
Problema 4
¿Cuáles expresiones son equivalentes a 8, times, 2, times, 4?
Elige todas las respuestas adecuadas:

¿Por qué reagrupar?

Reagrupar puede hacer que sea más fácil resolver un problema de multiplicación.
Veamos la expresión 4, times, 4, times, 5.
Podemos agrupar la expresión de dos maneras:
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Si evaluamos la primera expresión paso a paso, obtenemos: left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Si evaluamos la segunda expresión paso a paso, obtenemos: 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Podría ser más fácil encontrar el producto de 4, times, 20 que el de 16, times, 5.
Aunque los números se hayan agrupado de manera diferente, ambas expresiones dan el mismo producto.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

Intentemos un problema

Problema 5
¿Cómo podemos agrupar la expresión 2, times, 3, times, 9?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problema 6
Si no queremos multiplicar un número de dos dígitos para obtener el producto final, ¿cómo deberíamos agrupar los números?
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