Introducción a la propiedad asociativa de la multiplicación

La imagen muestra $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 renglones con $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 puntos en cada uno. Podemos usar la expresión $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 para representar el arreglo.

Esta imagen muestra el mismo arreglo de $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 copiado $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab veces.

Usamos la expresión $(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}$left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab para representar el arreglo.

Si contamos los puntos, obtenemos un total de $24$24.

¿Obtendremos el mismo total si cambiamos los paréntesis de modo que los números estén agrupados de una manera diferente?

Vamos a reagrupar los números de modo que el $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 y el $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab estén agrupados juntos: $\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

También podemos dibujar un arreglo para representar esta expresión. Vamos a empezar con $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 renglones con $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab puntos en cada uno. Este arreglo muestra $\goldD{2} \times\purpleD{4}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

Ahora necesitamos copiar el arreglo $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 veces para representar la expresión $\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Si contamos los puntos, seguimos obteniendo un total de $24$24.

¡Reagrupar no cambia la respuesta!

La regla matemática que nos permite reagrupar números en un problema de multiplicación sin cambiar la repuesta es la propiedad asociativa.

En el siguiente problema de multiplicación, vamos a agrupar los números de dos maneras diferentes y mostrar que obtenemos el mismo producto de ambas maneras.

Empecemos por agrupar el $\blueD{5}$start color #11accd, 5, end color #11accd y el $\blueD{4}$start color #11accd, 4, end color #11accd. Podemos evaluar la expresión paso a paso.

Ahora agrupemos el $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab y el $\purpleD{2}$start color #7854ab, 2, end color #7854ab.

Obtuvimos el mismo producto aunque los números estuvieron agrupados de maneras diferentes.

Las tres expresiones son equivalentes:
$\phantom{=}5 \times 4 \times 2$empty space, 5, times, 4, times, 2
$=(\blueD{5 \times 4}) \times 2$equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
$=5 \times (\purpleD{4 \times 2})$equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Ahora tratemos de evaluar una expresión de dos maneras diferentes.

Ahora resuelve la misma expresión que se agrupó de una manera diferente.

$(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30$left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 y
$3 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30$3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30

Obtuvimos el mismo producto aunque agrupamos los números de dos maneras diferentes.

Podemos usar la propiedad asociativa para encontrar expresiones que son equivalentes.

Empecemos con la expresión $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5.

Podemos agrupar esta expresión de dos maneras diferentes de modo que ambas sean equivalentes a $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5:

Al evaluar cada expresión paso a paso podemos encontrar otras expresiones que también son equivalentes.

Así que nuestra expresión original, $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5, también es equivalente a $4 \times 5$4, times, 5 y $2 \times 10$2, times, 10.

Reagrupar puede hacer que sea más fácil resolver un problema de multiplicación.

Veamos la expresión $4 \times 4 \times 5$4, times, 4, times, 5.

Podemos agrupar la expresión de dos maneras:

Si evaluamos la primera expresión paso a paso, obtenemos: $(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5$left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5

Si evaluamos la segunda expresión paso a paso, obtenemos: $4 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}$4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab

Podría ser más fácil encontrar el producto de $4 \times 20$4, times, 20 que el de $16 \times 5$16, times, 5.

Aunque los números se hayan agrupado de manera diferente, ambas expresiones dan el mismo producto.