Construir modelos exponenciales: vida media

vamos a realizar este ejercicio y nos dice el carbono 14 es un elemento que pierde exactamente la mitad de su masa cada cinco mil setecientos treinta años la masa de una muestra de carbono 14 puede moderarse con una función m que depende de su edad y está dada muy bien dice medimos que la masa inicial de una muestra de carbono 14 es de 741 gramos escribe una función que modele la masa de la muestra de carbono 14 restante después de t años transcurridos desde la medición inicial muy bien entonces como siempre te invito a que hagas una pausa trates de resolver este problema por tu propia cuenta trata de dar tú mismo una función m que dependa de ti y que nos mida la masa de la muestra de carbono 14 restante como función de los años transcurridos muy bien a mí la forma en que me gusta digamos abordar este tipo de problemas es primero tratar de hacer una tablita así que vamos a hacer una tablita en donde podamos poner el número de años transcurridos y también que nos diga cuál es la masa restante de nuestra muestra ok entonces digamos que estamos al tiempo cero es decir estamos con la medición inicial verdad y nuestra medición inicial nos dice que digamos déjenme déjenme subrayar lo es la masa inicial de una muestra de carbono 14 es de 741 gramos entonces al tiempo cero es decir al momento inicial tenemos 741 gramos muy bien ahora la otra digamos la otra información valiosa que tenemos es que la masa aquí lo tenemos verdad pierde exactamente la mitad de su masa cada cinco mil setecientos treinta años entonces digamos si pasaran cinco mil setecientos treinta años cuánta masa tendríamos pues tendríamos 741 y lo multiplicamos por un medio verdad eso es lo mismo que dividirlo a la mitad muy bien qué pasaría si ahora tenemos dos veces cinco mil setecientos treinta años es decir ocurren cinco mil setecientos treinta años después de estos que ya habían ocurrido entonces tendremos la mitad de este número que será 741 por un medio y para obtener la mitad de esto hay que multiplicar por un medio verdad y esto lo podríamos simplemente escribir como 741 por un medio elevado al cuadrado entonces si te das cuenta entre cada paso lo digamos del tiempo cero al 5700 30 hay que multiplicar por un medio del este paso al siguiente es decir cuando ocurren otros 5.700 30 años hay que multiplicar por un medio si quisiéramos saber cuánta masa hay una vez que ocurren cinco mil setecientos treinta años nuevamente verdad es decir ya ocurrieron tres veces 5.730 entonces nuevamente tendríamos que multiplicar por un medio y que eso sería 741 por un medio elevado verdad entonces puedes notar un patrón aquí cada cinco mil setecientos treinta años elevamos un medio al exponente correspondiente al número de vidas medias de esta sustancia que han pasado verdad aquí la vida media de las sustancias son cinco mil setenta perdón cinco mil setecientos treinta años entonces cada vez que ocurre una hay que elevar al exponente correspondiente verdad y después hay que multiplicar por 741 entonces esto ya nos da la información necesaria para poder plantear la función que estamos buscando la masa como función del número de años que han ocurrido será un medio bueno vamos a poner mejor primero 741 por un medio elevado al número de años que perdona el número de vidas medias que han ocurrido como sabemos la cantidad de vidas medias que han ocurrido tenemos que dividir el número de años que han pasado entre cinco mil setecientos treinta así que por ejemplo cuando el número de años es cinco mil setecientos treinta entonces tendremos que ha ocurrido una vida media cuando tenemos dos veces cinco mil 732 veces cinco mil 730 entre cinco mil setecientos treinta nos da dos verdad que es el número de vidas medias que han ocurrido y así puedes darte cuenta que esta es la forma en que podemos extender a cualquier número de años incluso si son si son por ejemplo fracciones de vida media verdad entonces aquí quedará un exponente fraccionario así que esta de aquí es nuestra función que puede modelar la masa de nuestra muestra de carbono 14 verdad como función del número de años que van transcurriendo