Problemas verbales sobre crecimiento y decaimiento exponencial

hagamos un par de problemas relacionados con crecimiento exponencial y decaimiento para el primer problema supone una sustancia radioactiva decae a una tasa de 3.5 por ciento por hora qué porcentaje de la sustancia queda después de 6 horas hagamos una pequeña tabla aquí para imaginar qué es lo que está sucediendo y después obtendremos una fórmula general para calcular cuánto queda después de n horas digamos horas que han transcurrido y porcentaje remanente por ciento remanente así que después de 0 horas que por ciento queda 100 por ciento aún no ha decaído después de una hora que pasa bueno está decayendo a una tasa de 3.5 por ciento por hora después de una hora se han perdido 3.5 por ciento u otra manera de ver esto es que quedan punto 96 5 recuerda si tienes 1 y estás perdiendo 3.5 por ciento si tienes 100% y estás perdiendo 3.5 por ciento de lo que estás perdiendo en una hora te queda 96.5 por ciento así es que cada hora vamos a tener 90 y 6.5 por ciento de lo que había en la hora anterior así es que a la hora 1 vamos a tener punto 96 5 de lo que había en la obra 0.96 5 del 100% que había en la hora 0 que pasa en la hora 2 en la hora 2 vamos a tener 96.5 por ciento de lo que había en la hora uno perdimos 3.5 por ciento por lo que quedan noventa y 6.5 por ciento en la hora 2 vamos a tener 0.96 5 de lo que había en la hora previa de 0.96 5 x 100 y aquí creo que ya puedes ver cuál es el patrón en la hora 1 teníamos punto 96 5 elevado a la primera potencia multiplicado por 100 en la hora 0 teníamos punto 96 5 elevado la potencia a cero aquí no se ve pero aquí tenemos un 1 x 100 y en la hora dos tenemos punto 96 5 elevado a la segunda potencia multiplicado por 100 y en general a la hora n vamos a ponerlo con un color vivo a la hora n tenemos 0.96 5 elevado a la potencia n multiplicado por 100 eso es lo que queda de nuestra sustancia radioactiva esto usualmente se indica como tu cantidad inicial por tu tasa de pérdida que es 96 5 elevado a la potencia n éste lo que te queda después de n horas y ya podemos contestar a la pregunta original cuánto nos queda después de seis horas bien después de seis horas nos queda 100 por 0.96 5 elevado a la sexta potencia y esto cuánto va a ser saquemos la calculadora nuestra confiable calculadora esto va a ser igual a 100 que multiplica a 0.96 5 elevado elevado a la sexta potencia y esto es igual esto es igual a 80 puntos 75 recordemos que está en porcentaje así es que nos va a quedar después de seis horas nos quedan 80 punto 75 por ciento de la cantidad original hagamos otro de estos ahora tenemos nadie tiene una cadena de restaurantes de comida rápida que operaba con 200 sucursales en 1999 si la tasa de crecimiento es aquí tenemos un error aquí debe de ser 8% anual si la tasa de crecimiento es 8% anual con cuántas sucursales opera el restaurante en 2007 hagamos lo mismo pongamos que en 1999 pongamos años después 1999 cuántas sucursales aquí vamos a poner sucursales cuántas sucursales está operando nadie con su cadena de restaurantes tenemos entonces que en 1999 que son 0 años después de 1999 está operando 200 sucursales en 2000 que es un año después de 1999 cuántas sucursales está operando sabemos que crece a una tasa de 8% anual entonces va a operar las mismas sucursales que está operando más el incremento de 8 por ciento así es que 1.08 por las sucursales que tenía anteriormente aquí puedes ver que el factor es 1.08 si estás creciendo en 8% hay que multiplicar por 1.08 déjame aclararte esto tenemos 200 más punto 08 por 200 esto equivale a 1 por 200.000 que es lo mismo que 1.08 por 200 en el 2001 en el 2001 son dos años después de 1999 y que tenemos 1.08 de la cantidad anterior de sucursales esto es un 1.08 que multiplica a 1.08 por 200 y creo que ya tenemos la idea general que sucede en años después de 1999 en años después va a haber un 1.08 mejor déjame ponerlo como 200 x 1.08 elevado a la potencia n en el año 2 era 1.08 al cuadrado en el año 1 era 1.08 a la 1 y en el año 0 era 1 aquí imaginamos que es un 1 que es 1.08 elevado a la 0 y nos preguntan cuántas sucursales o pearl el restaurante en 2007 bien en 2007 es 8 años después de 1999 así es que en este caso n es igual a 8 sustituimos el valor de n en esta expresión esto resulta entonces 200 x 1.08 elevado a la octava potencia sacamos la calculadora esto es 200 200 1.08 elevado a la octava potencia va a estar operando 370 sucursales y en proceso de operar otra más así es que va a estar operando si redondeamos hacia abajo 370 sucursales así que una tasa de crecimiento de 8% anual quizá no parezca tan grande no parece tan impactante pero en menos de una década en ocho años pasó de 200 sucursales a 370 sucursales así es que al componer anualmente durante 8 años una tasa de 8% realmente da resultados impactantes