Intervalos postivos y negativos de polinomios

digamos que tenemos el polinomio de x y cuando lo expresamos en su forma factorizar es x + 2 que multiplica a 2 x menos 3 que multiplica a x menos 4 y lo que vamos a hacer en este vídeo es usar nuestro conocimiento de las raíces de este polinomio para pensar en los intervalos donde este polinomio es positivo o negativo la clave será que el signo del polinomio es el mismo entre dos ceros consecutivos déjame dibujar una gráfica de un polinomio arbitrario para que sea más claro lo que intento decir tenemos el eje x el eje quien y si dibujo un polinomio arbitrario como éste puedes ver que entre 20 consecutivos el signo es el mismo entre este 0 y este otro 0 el polinomio es positivo entre este 0 y este 0 el polinomio es negativo y esto es casi intuitivamente cierto porque si el signo no fuera el mismo significa que tendrías que cruzar el eje x y por lo tanto tendrías un 0 esta es la razón del por qué no cambia de signo entre dos ceros consecutivos entonces entre este 0 y este otro 0 la función que dibujamos es de nuevo positiva y después de este 0 es negativa una vez más la única forma de que no sea negativa es si tuviéramos otro cero pero regresemos a nuestro ejemplo original para esto déjame borrar lo que trazamos porque esta no es la gráfica de px y primero pensemos en los ceros los 0 son los valores de x que resultan de ya sea x + 2 igual a 0 o 2 x menos tres igual a cero o x menos 4 igual a cero así que primero pensemos en qué valores de x resuelven x + 2 igual a 0 por supuesto es el valor de x igual a menos 2 que el valor de x resuelve 2x menos 3 igual a cero bueno si sumamos tres de ambos lados obtengo 2x igual a 3 y si dividimos todo por 2 obtengo que x es igual a tres medios y por último pero no menos importante que el valor de x resuelve x menos 4 igual a cero bueno sumamos cuatro de ambos lados y obtenemos x igual a 4 y si queremos graficar esto se parece a algo así tengo x igual a menos 2 x igualdad menos 10 1 2 3 4 y déjame dibujar el eje en el eje se ve algo así el eje x y el eje y tenemos un cero en x igual a menos dos así que inter sacamos al eje x aquí tenemos otro cero en tres medios que es un entero con un medio que está justo por aquí y además tenemos otro cero en x igual a 4 es decir aquí por lo tanto tenemos varios intervalos candidatos así que déjame escribirlos en una tabla los intervalos a considerar son los intervalos entre los ceros consecutivos déjame hacer una tabla tenemos las x menores que menos 2 es el primer intervalo déjame ponerlo en amarillo tenemos el intervalo donde x está entre menos dos y tres medios entonces menos 2 es menor que x menor que tres medios este es el intervalo en rosa y bueno voy a intentar usar todos mis colores tenemos por acá otro intervalo donde x está entre 3 medios y 4 es decir 3 medios es menor que x menor que 4 y por último pero no por eso menos importante el intervalo en rojo donde x es mayor que 4x es mayor que 4 ahora hay un par de formas de pensar si sobre este intervalo su función es positiva o negativa uno de los métodos es evaluar un punto del intervalo en nuestra función pero si nos da un valor positivo significa que todo el intervalo es positivo y si es negativo significa que todo el intervalo es negativo una vez más es intuitivo porque si por alguna razón cambiamos de signo entonces tendríamos otro cero la otra forma es pensar qué pasa en x + 2 en 2 x menos 3 y en x menos 4 en cada intervalo es decir saber si estas expresiones son negativas o positivas para después usar nuestro conocimiento al multiplicar signos positivos negativos para saber si toda la función es positiva o negativa así que hagámoslo de ambas formas digamos que tenemos la muestra x la muestra x nuestro valor de x que representará al intervalo y por último pensaremos si sobre este intervalo tenemos un signo positivo o negativo empecemos para las x menores que menos 2 podemos elegir como valor de muestra cualquier valor menor que menos 20 x igual a menos 3 es un valor sencillo para evaluar podemos intentar evaluar pd - 3 de hecho vamos a hacerlo pd - 3 es igual a menos tres más dos es lo mismo que menos uno menos uno por 2 x menos 3 que es igual a menos 6 menos 3 que es menos 9 menos 9 x menos 3 menos 4 lo cual es menos 7 y si multiplicas todo esto obtendrás menos 63 que claramente es negativo así que en este intervalo nuestro polinomio será negativo así que podemos movernos al siguiente intervalo una cosa interesante es que no es necesario resolver este valor de 63 lo que en verdad nos interesa es el lo que nos interesa es que tenemos un negativo por un negativo por un negativo que al final nos dará un valor negativo así que hagamos de esta manera los siguientes intervalos pensemos si cada una de estas expresiones son positivas o negativas y al final vamos a multiplicar esos signos positivos y negativos en este segundo intervalo entre menos 2 y 3 medios que pasaran bueno podemos trabajar con un punto muestra el más sencillo que se me ocurre es x igual a cero cuando x es igual a cero estamos trabajando con una primera expresión positiva por una segunda expresión negativa por una tercera expresión negativa un positivo por un negativo por un negativo la forma de resolverlo en mi cabeza fue tengo dos positivos después de esta segunda expresión me queda 3 negativo y en la última 4 negativo entonces positivo por un negativo por un negativo déjame escribirlo un positivo por un negativo por un negativo y bueno negativo por negativo me dará positivo y positivo por positivo es positivo así que tenemos una función que es positiva sobre este intervalo y si evaluamos p de 0 obtendrás un valor positivo ahora que hay del siguiente intervalo donde tres medios es menor que x menor que 4 podemos proponer a x igual a 2 cuando evaluamos a x igualdad 2 obtenemos un valor positivo en la primera expresión por un valor positivo en la segunda expresión por 2 menos 4 es negativo así que por un valor negativo así que la función tiene valores negativos sobre este intervalo y por último pero no menos importante cuando x es mayor que 4 intentemos con x igual a 5 cuando x es igual a 5 tenemos primero un valor positivo por otro valor positivo en la segunda expresión por un valor positivo en la tercera así que en este intervalo tenemos valores positivos ahora bien como mencioné puedes obtener las mismas conclusiones si los valores de muestra puedes decir ok para cualquier x mayor que 4 al sumarle 2 en definitiva obtenemos un valor positivo para cualquier x mayor que 4 al multiplicarlo por 2 y al restarle 3 en definitiva obtenemos algo positivo porque 2 por algo más grande que 4 en definitiva es algo más grande que 3 y cualquier valor más grande que 4 al restarle 4 obtienes siempre un valor positivo así que esta es otra forma para hallar el signo del intervalo incluso si no tienes un valor muestra y ya lo tenemos hallamos los intervalos donde la función es positiva o negativa aunque no sabemos exactamente cómo se ve la función pero de manera general podemos pensar que la función es negativa en este primer intervalo es decir se ve más o menos así después es positiva en el siguiente intervalo después es negativa en el tercer intervalo y por último es positiva en el último intervalo así que ya tenemos un esbozo general de la función p no sabemos exactamente qué tanto sube o baja este polinomio hasta que probemos con más puntos pero ya sabemos el signo de cada uno de los intervalos