Ceros de polinomios (multiplicidad)

nos dicen cuál puede ser la ecuación de p nos muestra en esta gráfica y nos dan varias opciones como siempre los invito a que pausa en el vídeo y traten de resolverlo por su cuenta muy bien vamos a resolverlos juntos podemos ver que todas las opciones están expresadas como un polinomio factor izado esta forma es útil para pensar en las raíces de un polinomio aquellos valores de x que hacen que el polinomio sea igual a 0 las raíces también son evidentes al ver esta gráfica tenemos una raíz en x igual a menos 4 tenemos otra raíz en x igual a menos 1.5 o menos 3 medios y tenemos otra raíz en x igual a 1 lo que en realidad tenemos que hacer es buscar cuáles de estos factores son consistentes con las raíces que vemos aquí analicemos raíz x raíz a la izquierda tenemos una raíz en x igual a menos 4 y para que este polinomio sea igual a cero cuando x es igual a menos 4 tiene que tener x 4 común o esto multiplicado por una constante como parte del polinomio en las opciones podemos ver que tenemos varios x 4 pero tienen diferentes exponentes el primero tiene un 2 como exponente está elevado al cuadrado mientras que los demás tienen un 1 como exponente cuando hemos hablado de multiplicidad en otros vídeos dijimos que cuando vemos un cambio de signo alrededor de una raíz como la que estamos viendo aquí en x igual a menos 4 quiere decir que vamos a tener un exponente impar en el factor correspondiente pero si no vemos un cambio de signo como lo vemos en esta otra raíz quiere decir que hay un exponente para aquí vemos claramente un cambio de signo por lo que esperamos un exponente impar y por supuesto que uno es un número impar y dos no lo es si tenemos directamente un x más 4 entonces veremos un cambio de signo en la gráfica cuando x es igual a menos 4 por lo que podemos descartar esta opción las opciones que quedan se siguen viendo bien por el momento al menos considerando solamente el factor 4 ahora analicemos la siguiente raíz que está en x igual a menos tres medios una forma de pensar en esto es que podemos tener un factor que luzca como x más tres medios o esto multiplicado por una constante cuando vemos las opciones que quedan no encontramos alguna como x más tres medios pero si hay algunas con dos y tres por lo que una forma de pensar en esto es que si multiplicamos esto con una constante 2 queda como 2 x 3 que coincide con lo que tenemos aquí y la siguiente pregunta es cuál debe ser el exponente nuevamente tenemos un cambio de signo alrededor de x igual a menos 3 medios por lo que esperamos un exponente impar a aquí al ver las opciones nos damos cuenta de que sólo dos de ellas tienen exponente 1 que es un número impar y esta opción tiene un exponente par por lo que descartamos esta opción también ahora veamos la última raíz que es x igual a 1 por lo que esperamos que x menos 1 oeste multiplicado por una constante sea uno de los términos que estamos buscando aquí lo interesante es que no vemos un cambio de signo alrededor de x igual a 1 por lo que esperamos un exponente par y de las opciones que quedan ambas tienen x menos uno pero la opción c es la única que tiene este término con exponente para la opción c se ve bien si vemos la opción de en donde está el término a la primera potencia esperaríamos un cambio de signo alrededor de x igual a 1 esta sería una situación en donde la curva sigue hacia abajo más o menos así así que elegimos la opción c resolvamos otro ejemplo nuevamente nos preguntan cuál puede ser la ecuación de p y nos dan esta gráfica nuevamente pausa en el vídeo y traten de resolverlo vamos a aplicar la misma idea veamos esta primera raíz esta raíz está en x igual a menos 3 por lo que esperamos que algún múltiplo de x + 3 sea uno de los factores y también hay un cambio d signo alrededor de x igual a menos 3 por lo que esperamos una multiplicidad impar o un exponente impar en el factor x 3 al ver las opciones se detiene en exponente par si tuviéramos x + 3 a la cuarta en la gráfica no tendríamos un cambio de signo simplemente la gráfica apenas tocaría al eje x y regresaría sin cambiar de signo por lo que descartamos estas opciones ahora veamos la segunda raíz aquí en x igualados por lo que esperaríamos un x menos 2 o un múltiplo de esto como factor y como no hay un cambio de signo alrededor de x igualados la gráfica solamente toca al eje x y regresa a dónde venía vamos a esperar un exponente para aquí al ver las opciones y fijarnos en el factor x menos 2 nos damos cuenta de que sólo una tiene un exponente par por lo que elegimos la opción b y terminamos