Homotecia en 3D

Digamos que tengo algún tipo de superficie. Esto  que estoy dibujando es la parte superior de un   escritorio, y voy a dibujar un triángulo en esta  superficie, así que tal vez el triángulo se ve   así. No tiene que ser un triángulo rectángulo, no  estoy insinuando que éste sea necesariamente un   triángulo rectángulo, aunque se parece un poco  a uno. Llamémoslo triángulo ABC. Ahora, lo que   voy a hacer es algo interesante, voy a tomar  un cuarto punto P que no está en la superficie   de este escritorio, va a estar justo por encima  del punto B. Así que permíteme dibujar ese punto   que está directamente arriba, y voy a llegar al  punto P. Ahora lo que puedo hacer es construir una   pirámide usando el punto P como la punta de esa  pirámide. Vamos a comenzar a pensar en qué es lo   que sucede si tomo secciones transversales de esta  pirámide. En este caso la longitud del segmento PB   es la altura de esta pirámide. Ahora, si fuéramos  a la mitad de esa altura e hiciéramos una sección   transversal de esta pirámide paralela a la  superficie de nuestro escritorio, ¿cómo se vería   eso? Pues se vería algo así. Quizás estás notando  algo realmente interesante. Si trasladamos ese   triángulo azul directamente sobre la superficie  del escritorio se vería así, y cuando lo ves de   esa manera parece que es una homotecia de nuestro  triángulo original centrado en el punto B. Y de   hecho es una homotecia centrada en el punto B con  un factor de escala de 0.5, y puedes verla justo   aquí, esta longitud justo aquí, disminuyó a la  mitad de la longitud del segmento BC original.   Esta es la mitad de la longitud del segmento AB  original y luego esta es la mitad de la longitud   del segmento AC original. Y podemos hacer esto a  otras alturas a lo largo de esta pirámide. ¿Qué   pasaría si tuviéramos que ir 0.75 del camino entre  P y B? Si tuviéramos que llegar justo aquí para   estar más cerca de nuestro triángulo original,  entonces la sección transversal se vería así.   Ahora, si tuviéramos que trasladar eso a nuestra  superficie original, ¿cómo se vería? Se vería así,   como una homotecia de nuestro triángulo original  centrado en el punto B, pero esta vez con un   factor de escala de 0.75. Y luego, ¿qué pasa si  vamos solamente una cuarta parte del camino entre   el punto P y el punto B? Bueno, entonces verías  algo como esto. Dibujamos la sección transversal   paralela a la superficie original a una cuarta  parte de la altura y se verá así. Si tuvieras   que trasladar esto directamente sobre nuestra  superficie, se vería algo así, y se ve como una   homotecia centrada en el punto B con un factor de  escala de 0.25. Y la razón por la cual todas estas   homotecias se ven como homotecias centradas en  el punto B es porque el punto P está directamente   sobre el punto B. Pero esta es una forma de  conceptualizar homotecias o ver la relación   entre las secciones transversales de una figura  tridimensional -en este caso una pirámide- y cómo   esas secciones transversales se relacionan con la  base de la pirámide. Ahora permíteme hacerte una   pregunta interesante: ¿qué pasaría si tratara  de tomar una sección transversal justo en el   punto P? Bueno, entonces obtendría un punto, no  obtendría un triángulo real, pero podrías verlo   como una homotecia con un factor de escala de 0.  ¿Y qué pasaría si tuviera que tomar una sección   transversal en la base? Entonces tendríamos  el triángulo original, el triángulo ABC,   que puedes verlo como una homotecia con un factor  de escala de 1 porque has recorrido todo el camino   hasta la base. Así que espero que esto te ayude  a conceptualizar las secciones transversales de   una figura en tres dimensiones, que son paralelas  a la base, y cómo se relacionan con la homotecia.