Foco y directriz de una parábola a partir de su ecuación

tenemos aquí la ecuación de una parábola y el objetivo de este vídeo es ver otra forma de encontrar el foco y la directriz de una parábola si tenemos su ecuación y bueno si lo que tengo es esta ecuación lo primero que se me ocurre es dejar a la insólita aunque hay pasar este menos 23 cuartos del otro lado del igual porque no sé mi cerebro funciona mejor si está todo simplificado entonces vamos a sumar 23 cuartos de los dos lados y nos queda ya menos 23 cuartos más 23 cuartos se cancela entonces ye igual a menos un tercio de x menos 1 al cuadrado más 23 cuartos y ahora vamos a repasar lo que hemos visto acerca de los focos y las directrices digamos que tenemos un foco en el punto y coma y que tenemos una directriz directriz una directriz completamente horizontal descrita por la fórmula ye igual acá lo que hemos visto en los vídeos pasados es que si tenemos a cualquier poco ya una directriz de esta forma entonces la fórmula de la parábola es de la forma y igual a 1 entre 2 x b - k ver - k por x menos a al cuadrado nada se ve más k entre 2 y como puedes observar fácilmente este término este término de aquí corresponde a este término de acá y también este término de aquí este coeficiente de este binomio corresponde a este término de acá y finalmente esta constante corresponde a esta constante de acá y de hecho podemos utilizar esta información para encontrar el foco y la directriz de la parábola que se define con esta ecuación aquí inmediatamente ya tenemos uno de los valores porque aquí tenemos x menos 1 que corresponde a x menos a entonces sabemos directamente que a tiene que ser igual a 1 y bueno para encontrar b y acá tenemos dos formas una la más común sería tratar de encontrar a b ya que utilizando álgebra directamente sin pensar en lo que hay de fondo lo que hay pero es bastante sencillo este término de aquí menos un tercio corresponde a este término de aquí 1 entre 2 x b menos acá y eso nos da una ecuación de la cual podemos obtener el valor de menos acá por otro lado esta constante 23 4 tiene que ser igual además acá sobre dos y entonces ya podemos obtener los valores de b y de acá porque tenemos dos ecuaciones distintas y 25 gritas entonces solo tenemos que resolver este sistema de ecuaciones y obtenemos a ver ya acá y listo sin embargo lo que vamos a hacer en este vídeo es usar todo lo que sabemos acerca de los pocos y las directrices y las parábolas aunque hay bueno así es que vamos a empezar por encontrar el vértice de esta parábola el vértice es a ver estamos considerando dos tipos de parábolas las que abren hacia arriba y entonces su vértice es el mínimo el punto mínimo de esta curva o las parábolas que abren hacia abajo y entonces su vértice es el punto máximo también hay unas palabras que están moldeadas pero esas no las estamos viendo ahorita y su ecuación tiene más términos que no estamos viendo aquí pero bueno eso lo veremos más adelante por el momento sólo tenemos parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo y esta parábola es una de esas parábolas que se abren hacia abajo porque aquí tenemos una constante este término siempre es positivo y se hace cada vez más grande pero este coeficiente es un coeficiente negativo entonces conforme la x se aleja se va yendo cada vez más hacia abajo así es que el vértice es el máximo de esta ecuación y por lo tanto se obtiene cuando este binomio es igual a cero ok porque así no le estamos gastando nada y tenemos el mayor valor posible aunque entonces voy a borrar esto así es que el vértice vértice lo obtenemos cuando x es igual a 1 entonces el vértice tiene en la coordenada x 11 y en ese valor de x que es igual a 23 cuartos 23 cuartos de hecho es igual a 53 cuartos este es el vértice de la parábola y es una parábola que se abre hacia abajo voy a empezar a graficar tenemos aquí el eje de las sedes y tenemos aquí el eje de las x eje de las tres ejes de las x digamos que por aquí está el uno por aquí está el 2 tenemos nuestro vértice en el uno con cinco y tres cuartos o sea casi seis por aquí tenemos que enumerar por lo menos hasta 7 12 4 56 7 el vértice está más o menos por aquí uno con cinco y tres cuartos y la parábola se ve más o menos así aunque es una parábola que se abre hacia abajo porque este coeficiente de aquí es negativo y bueno dibuje esta parábola a mano en lugar de computadora por lo cual no es muy exacta pero no necesitamos más ahora por el momento no tenemos mucha información acerca de esta parábola pero nos gustaría saber cuál es su foco y cuál es su directriz sabemos que el foco va a estar en algún punto de esta recta va a tener la misma coordenada x que el vértice esta recta es la recta x igual a 1 entonces digamos por ejemplo que el vértice está aquí si el vértice está aquí eso significa que la directriz va a ser una línea por acá más o menos y todavía no encontramos la directriz ni el foco nada más los estamos dibujando para tener una buena idea de más o menos dónde están pero como el vértice es parte de la parábola entonces esta distancia de aquí tiene que ser igual a esta distancia de acá aunque hay porque cualquier punto de la parábola incluyendo al vértice equidista de la directriz y del foco pero bueno este foco es el punto y esta línea de aquí es la directriz que se define por la ecuación de igual acá que entonces queremos saber cuál es esta distancia de aquí del vértice a la directriz y para obtenerla podemos observar que la directriz está arriba del foco entonces esta distancia es acá - ve que está acá y menos la altura del foco sin embargo esto no siempre funciona por ejemplo si el foco está arriba de la directriz tendríamos que poner de menos acá para que fuera un valor positivo pero lo que siempre funciona es tomar el valor absoluto db - acá y queremos conocer esta distancia porque a partir del vértice con esta distancia podemos encontrar súper fácil el foco y la altura de la directriz entonces nos interesa mucho saber cuánto vale esto pero eso es algo que si podemos encontrar porque aquí tenemos la ecuación de la parábola y aquí tenemos la fórmula de la parábola en la cual tenemos el término de menos acá aquí en el coeficiente del binomio b x al cuadrado entonces este coeficiente tiene que ser igual a este coeficiente y de esa forma vamos a obtener cuánto vale de menos acá que hay de hecho vamos a ponerlo por aquí sabemos que menos un tercio tiene que ser igual a uno entre dos por ver - acá uno entre dos por ver menos acá aunque vamos a poner este menos un tercio en amarillo menos uno tercio y para resolver esta ecuación donde lo que más nos interesa es obtener el valor de v - que todo junto podemos tomar el recíproco entonces nos queda menos 3 igual a 2 por ver - k 2 por b menos acá y después dividimos entre 2 y nos queda b menos que igual a menos 3 entre 2 y listo entonces si tomamos el valor absoluto bb menos que lo que nos queda es 3 medios k menos de es igual también a 3 medios medios que obtuvimos esta distancia de aquí que es el valor absoluto de b menos que a partir de estos coeficientes de aquí estos dos coeficientes tienen que ser iguales y a partir de esa igualdad obtenemos b menos que su valor absoluto es la distancia del foco a la directriz así es que esta distancia de aquí tres medios y bueno en realidad queremos tomar la mitad de esa distancia porque justo a la mitad entre el foco y la directriz se encuentra el vértice y ya tenemos la localización exacta del vértice entonces para obtener el foco lo único que necesitamos hacer es tomar el vértice y restarle la mitad de esta distancia y para obtener la altura de la directriz tomamos la altura del vértice y le sumamos la mitad de esta distancia y bueno la mitad de esta distancia es un medio por tres medios o sea tres cuartos así es que empecemos con la directriz la directriz es la recta ye igual tenemos aquí que el vértice está a una altura de 23 cuartos o sea que empezamos con 23 cuartos a esta altura más más la mitad de esta distancia que yo sea más cuartos más tres cuartos o sea veintiséis cuartos que es igual a 6.5 así es que la directriz es la recta ye igual a 6.5 creer y aquí está el 6.5 pero ahora vamos con el foco ok por un lado sabemos que su coordenada en x es igual a 1 y su coordenada y su altura es igual a la altura del vértice o sea 23 cuartos menos la mitad de esta distancia o sea menos tres cuartos y 23 4 - tres cuartos es simplemente 20 cuartos veinte cuartos es simplemente un 5 bueno entonces ya terminamos el foco es el punto 15 y la directriz es la recta y igual a 6.5