Introducción a la semejanza de triángulos

si vemos los triángulos a bs y x y z nos vamos a dar cuenta rápidamente que no son congruentes de hecho tienen lados muy diferentes y este claramente es más pequeño que este triángulo de acá pero si vemos con un poco más de calma hay cosas interesantes pasando entre estos dos triángulos una primera cosa es que los ángulos correspondientes son congruentes por ejemplo el ángulo acb es congruente al ángulo x z y el ángulo c b es congruente al ángulo zeta x y finalmente el ángulo b a c es congruente al ángulo y x z entonces esa es una primera cosa interesante pero si vemos con un poco más de cuidado los números también nos daremos cuenta que las razones entre lados correspondientes son iguales por ejemplo para pasar de este 8 a este 24 que es el lado correspondiente tenemos que multiplicar por 3 también para pasar de este 5 a este 15 tenemos que multiplicar por 3 5 por 3 es igual a 15 y finalmente para pasar de este 7 al 21 también hay que multiplicar por 3 entonces podemos decir que el triángulo abc es una versión a escala del triángulo x z con un factor 3 vale vale entonces aunque estos dos triángulos no sean congruentes definitivamente hay una relación especial entre ellos y a esa relación especial de proporcionalidad le llamamos semejanza no voy a poner aquí semejanza semejanza y la forma en la cual decimos que dos triángulos son semejantes en símbolos es la siguiente decimos que el triángulo abs es semejante este es el símbolo al triángulo y aquí hay que ser cuidadosos con que sean los vértices correspondientes avan con x b b bakonyi y se va con z entonces es semejante al triángulo x que se está muy bien va entonces hay tres ideas aquí importantes vale una primera idea para pensar en semejanza es pensar en esto de que uno es una versión la escala del otro que ésta es una versión miniatura de este o que ésta es una versión agrandada de este de acá entonces la diferencia de la congruencia en donde sólo podíamos trasladar rotar y voltear ahora en la semejanza también vamos a poder aplicar escalas hacia arriba y hacia abajo podemos expandir o contraer la figura vale bueno entonces lo voy a poner por acá una primera forma de pensar en la semejanza es como una versión a escala versión versión a escala escala y esta escala puede ir hacia arriba o puede ir hacia abajo muy bien entonces de aquí nos damos cuenta inmediatamente de algo que la congruencia es algo más fuerte más fuerte que la semejanza si dos triángulos son congruentes si el triángulo lo voy a poner por acá si el triángulo abc es congruente al triángulo xz y xvii cz entonces definitivamente estos triángulos son semejantes el triángulo abs es semejante al triángulo x y z simplemente es una versión a escala pero con la misma escala vale al revés no se vale si tenemos que dos triángulos son semejantes puede que no sean congruentes como en este caso porque aquí la razón de semejanza es tres que es distinto de uno muy bien bueno esta es una primera forma de pensar en la semejanza pero hay otra forma cuando estamos hablando de triángulos que es esto de los ángulos entonces otra forma de pensar a la semejanza es pensando en que los ángulos correspondientes son congruentes y ángulos ángulos correspondientes de los triángulos de los triángulos son son congruentes congruentes entonces pues observando esta figura de acá podemos pasar eso a símbolos vale tenemos que dos triángulos son semejantes o bien son una versión a escala siempre y cuando este ángulo sea igual a éste por ejemplo déjame ponerlo con el color que va bueno vamos a empezar con este verde siempre y cuando el ángulo acb acb sea congruente al x al ángulo ángulo x z sé que esto es la correspondencia por la forma en la cual escribí la semejanza acb va con x detalle vamos con los otros dos ángulos se ve a ángulo se vea se ve a es congruente con el detalle x con el ángulo z de x x y finalmente tenemos este ángulo de acá el b hace el ángulo b hace tiene que ser congruente al x z al ángulo de x z vale entonces esto de acá esta primer forma de pensarlo y esta segunda forma son equivalentes voy a poner una flechitas y doble que quiere decir que esto pasa cuando esto pasa y viceversa bueno entonces ya tenemos dos formas de pensar en las semejanzas vamos a una tercera que tiene que ver con esto de las proporciones déjame bajar un poco entonces una tercera forma de pensar en la semejanza es con con lados proporcionales lo voy a poner aquí la dos lados correspondientes correspondientes proporcionales proporcionales muy bien déjame volver a pintar unos triángulos aquí para poder hacer referencia a ellos porque de hecho ya estamos hablando de semejanza en general entonces aquí tenemos el triángulo quede un poco feo un poco más bonito si así el abs y ese va a ser semejante a otro triángulo xz x y z siempre y cuando los lados correspondientes sean proporcionales que quiere decir que sean proporcionales bueno o sea que la razón entre este y éste sea la misma que entre este y éste vaya la razón entre lados correspondientes siempre sea la misma vale vamos a escribir eso con letras entonces eso quería decir que este / este o sea que éste sea una cierta proporción de éste vamos a ponerlo así que a b sea igual a una cierta proporción acá por x y x pero luego que este otro digamos el bc sea esta misma proporción de jay-z veces sea esa misma proporción de jay-z ahorita pongo la cara entonces sería acá porque éste está lo importante es que sea la misma proporción y finalmente vamos a pedir que este lado sea también este lado con esta misma proporción va es decir que sea sea el tercer lado sea igual acá y esta misma que cada vez es el lado correspondiente que es zx zx una vez más sé que estos son los lados correspondientes por la forma en la cual escribí la semejanza de bakol y xy bs con jay-z y hace con x z vale bueno entonces esta es una forma de pensarlo pero también podemos hacerlo de otra forma podríamos dividir entre x y aquí entre jesse está aquí y entre zx acá y obtener lo siguiente podemos obtener que ave ave entre xy es igual acá podemos obtener que veces entre jay z veces entre entre z también es igual a cada bandeja me poner el color amarillo y finalmente podemos poner que se ha se ha entre zx z x aquí este z no quedó tan bonito pero bueno acá también es igual es igual a que vale es igual acá y bueno esto también se suele escribir como una triple igualdad se suele escribir déjame bajar un poco como que ave ave entre xy es igual a veces entre jay-z pc / jay-z que es igual es igual a c en 13 está x / zx que es igual a acá y de aquí podemos decir varias cosas por ejemplo si si tenemos que el triángulo a veces es más chiquito del que le quisiese está entonces está acá es menor que wood si los triángulos son congruentes entonces son semejantes y la caja justo va a ser igual a uno y finalmente si el triángulo abc fuera más grande que el x7 tendríamos que acá tendría un valor mayor que uno si vamos aquí arriba aquí arriba el valor del acá para pasar de abc a x y z es un tercio verdad y de quisiese está acá es igual a tres vale entonces ahí tenemos esos factores aquí tenemos una forma de escribir la triple igualdad y finalmente déjame déjame volver a insistir en que esto de acá son cosas equivalentes entonces aquí voy a poner esta flechita de que son equivalentes y esta flechita doble de que son equivalentes vale entonces qué sucede si los ángulos correspondientes de un triángulo son congruentes entonces sucede que los lados correspondientes son proporcionales en la misma y también sucede que uno es una versión la escala del otro vale entonces estas tres cosas son tres formas de pensar en semejanza pero todas estas son equivalentes