Resolver proporciones complicadas

Tenemos la proporción "x" menos 9 sobre 12 es igual a 2 sobre 3. Y queremos encontrar el valor de "x" que cumple con esta proporción. Hay muchas maneras de hacer esto, la mayoría de la gente cuando ve una proporción como ésta, se le ocurre hacer la multiplicación cruzada, 3 por "x" menos 9 es igual a 12 por 2, lo cual es correcto. Déjame escribirlo por aquí. Tenemos 3 por "x" menos 9 es igual a 2 por 12... 2 por 12. Del lado izquierdo distribuyendo el 3 nos da 3 por "x" menos 27 que es igual a 24, ahora, sumamos 27 a ambos lados, ¿qué tenemos? Déjame escribirlo, sumamos 27 del lado izquierdo y sumamos 27 del lado derecho. Del lado izquierdo se cancelan estos términos, nos queda "3x" y del lado derecho resulta 25 más 27 es 51, ahora, dividiendo ambos lados entre 3, "x" es igual a 17. Así es que 17 menos 9 es 8, 8 sobre 12 es igual a 2 sobre 3, nuestra respuesta es correcta. Otra manera de hacer esto, en vez de hacer la multiplicación cruzada sería eliminar de entrada este 12 que tenemos aquí, para lo cual multiplicamos toda la ecuación por 12, así es que multiplicando por 12 ambos lados, aquí se cancelan los 12 del lado izquierdo y nos queda tan solo "x" menos 9 y del lado derecho tenemos, 2/3 de 12, 2/3 de 12 es igual a 8, podemos hacer de hecho la multiplicación, 2/3 que multiplica a 12/1, simplificamos aquí 12 y 3, 12 entre 3 es igual a 4, 3 entre 3 es igual a 1, para terminar simplemente con 2 por 4 igual a 8 y ahora sumamos 9 a ambos lados, eso es lo extraordinario del álgebra, no importa el camino que tomes, mientras sea lógicamente consistente vas a llegar al mismo resultado. Y aquí de nueva cuenta obtenemos "x" igual a 17. Y también podrías multiplicar ambos lados por 12 y ambos lados por 3 y va a ser equivalente a esta multiplicación cruzada que hicimos. Hagamos uno más. Aquí tenemos otra proporción, pero en esta ocasión la "x" está en el denominador, pero así como hicimos antes, si lo queremos podemos hacer la multiplicación cruzada, pero para que veamos de donde sale esta multiplicación cruzada, que no es algo mágico que estás haciendo sino que estás haciendo operaciones válidas a ambos lados de la ecuación, en realidad lo que estamos haciendo es multiplicar ambos lados por ambos denominadores, así es que tenemos este 8 aquí en el denominador del lado izquierdo y para eliminarlo, tenemos que multiplicar este término por 8. Así es que multiplicamos este término por 8, pero para mantener la igualdad de la ecuación, también tenemos que multiplicar por 8 el lado derecho. De manera similar, similarmente, si queremos eliminar este "x" más 1 de este denominador, tenemos que multiplicar por "x" más 1 esta expresión, pero... pero nuevamente para que no se altere la igualdad hay que multiplicar por "x" más 1 también del lado izquierdo. Esto que hemos hecho es equivalente a la multiplicación cruzada, estos 8 se cancelan, del lado derecho se cancelan los "x" más 1, por lo que ahora queda del lado izquierdo, "x" más 1 que multiplica a 7... "x" más 1 que multiplica a 7, el 7 lo voy a poner antes para posteriormente distribuir el producto y esto va a ser igual al producto de 5 por 8... 5 por 8... y observa, esto es lo que hubieras obtenido de haber hecho la multiplicación cruzada, la multiplicación cruzada es una manera rápida de multiplicar una ecuación por ambos denominadores. Tenemos que 7 por "x" más 1, es igual a 5 por 8. Y ahora, hacemos álgebra para resolver la ecuación. Del lado izquierdo distribuimos el 7 para obtener "7x" más 7 que es igual a 40, ahora restamos 7 de ambos lados, vamos a restar 7 del lado izquierdo y 7 del lado derecho, para obtener, del lado izquierdo estos 7 se cancelan, nos queda "7x" que es igual a 33, dividimos entre 7 para despejar "x", estos 7 se cancelan y nos queda que "x" es igual a 33/7, lo cual podemos escribir como 4 enteros 5/7. Y así hemos concluido.